Справедливо следующее неравенство:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$$

Его доказательство по методу математической индукции приводится в пункте б) задачи 9.

«Зажмем» нашу последовательность:

$$0<\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$$

Докажем следующее неравенство:

$$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\stackrel{\text{?}}{<}\frac{1}{\sqrt{2n}}$$

«Переворачиваем» дроби и возводим в квадрат обе части (перевернуть можно, так как тут все больше 0):

$$\begin{array}{rl}2n+1& >2n\\ 1& >0\end{array}$$

Итак, мы показали, что

$$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}<\frac{1}{\sqrt{2n}}$$

Используем это для усиления цепного неравенства выше:

$$0<\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}<\frac{1}{\sqrt{2n}}$$

$$0<\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n}}$$

Найдем предел дроби в правой части цепного неравенства:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{2n}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 0=0$$

Мы использовали то, что $\frac{1}{\sqrt{n}}\to 0$, так как это частный случай последовательности $\frac{1}{n^a},a>0$, которая стремится к $0$ (см. прото-задачу П-ссылка).

Итак, вернемся с нашей «зажатой» последовательности:

$$0<\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n}}$$

Слева «последовательность» $0$ стремится к $0$. Последовательность справа, как мы только что показали, тоже стремится к 0. Значит, по теореме о двух милиционерах, «зажатая» между ними последовательность тоже стремится к $0$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{2n-1}{2n}\right)=0$$

$■$