Демидович
67

Какое выражение больше при достаточно больших :

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Пункт а)

Найти предел отношения:

Воспользоваться определением предела, чтобы прямо показать, какое из этих выражений больше.

Пункт б)

Воспользоваться результатом задачи 60.

Пункт в)

Воспользоваться результатом задачи 61.

Решение

Пункт а)

Найдем предел отношения последовательностей и :

Здесь мы воспользовалим тем, что при (см. прото-задачу П.10).

Распишем полученный результат по определению предела:

Рассмотрим неравенство в конце:

От модуля можно избавиться, так как выражение под ним всегда положительное:

Итак, по определению предела, для любого , найдется такое , что для всех остальных будет выполняться неравенство выше.

Раз выполняется для любого положительного , то и для существует такое , что для всех остальных будет выполняться:

Умножим обе части на :

Значит, начиная с номера последовательность будет всегда больше, чем .

Пункт б)

Найдем предел отношения последовательностей и :

Предел именно такой, так как он является частным случаем предела отношения ( и ):

значение которого доказывалось в задаче 60.

Итак,

Дальше действия аналогичные пункту а): расписываем по определению предела и берем :

Значит, начиная с номера последовательность будет всегда больше, чем .

Пункт в)

Найдем предел отношения последовательностей и :

Предел именно такой, так как он является частным случаем предела отношения ():

значение которого доказывалось в задаче 61.

Итак,

Дальше действия аналогичные пункту а): расписываем по определению предела и берем :

Значит, начиная с номера последовательность будет всегда больше, чем .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.