Пункт а)

$$2!\cdot 4!\dots (2n)!>{\left[(n+1)!\right]}^n\text{ при }n>1$$

База индукции: в качестве базы возьмем $n=2$, так как по условию $n>1$:

$$2!\cdot 4!=48>(3!{)}^2=36$$

Индукционный переход:

Пусть неравенство выполняется для некоторого натурального $k$:

$$2!\cdot 4!\dots (2k)!>{\left[(k+1)!\right]}^k$$

Докажем, что оно верно и для $k+1$. Умножим обе части неравенства на положительное $\left[2(k+1)\right]$!

$$2!\cdot 4!\dots \left[2(k+1)!\right]>{\left[(k+1)!\right]}^k\cdot \left[2(k+1)\right]!$$

$\left[2(k+1)\right]!$ можно записать так:

$$[2(k+1)]!=(k+1)!\cdot (k+2)(k+3)\dots 2(k+1)$$

Подставляем эту форму обратно в правую часть неравенства:

$$2!\cdot 4!\dots [2(k+1)]!>[(k+1)!{]}^{k+1}\cdot (k+2)(k+3)\dots 2(k+1)$$

Усилим неравенство, заменив все правые скобки $(k+3)$, $(k+4)$ и так далее на $(k+2)$:

$$(k+2)\underset{k-2\text{ скобок}}{\underbrace{(k+3)\dots 2k}}\cdot \underset{\text{Еще }2}{\underbrace{(2k+1)\cdot (2k+2)}}>(k+2{)}^{k+1}$$

$$2!\cdot 4!\dots [2(k+1)]!>[(k+1)!{]}^{k+1}\cdot (k+2{)}^{k+1}$$

Объединяем $(k+1)!$ и $(k+2)$ под степенью $k+1$:

$$2!\cdot 4!\dots [2(k+1)]!>[(k+2)!{]}^{k+1}$$

Мы доказали индукционный переход. Это означает, что доказываемое неравенство выполняется для любых натуральных $n>1$.

$■$

Пункт б)

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$$

Докажем по методу математической индукции.

База индукции: при $n=1$ имеем:

$$\frac{1}{2}<\frac{1}{\sqrt{3}\approx 1.7}$$

Индукционный переход:

Пусть неравенство выполняется для некоторого натурального $k$:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{2k-1}{2k}<\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$$

Докажем, что оно выполняется и для $k+1$. Домножим обе части на дробь $\frac{2k+1}{2k+2}$:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{2k-1}{2k}\cdot \frac{2k+1}{2k+2}<\frac{1}{\sqrt{2k+1}}\cdot \frac{2k+1}{2k+2}$$

Упрощаем правую часть:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{2k-1}{2k}\cdot \frac{2k+1}{2k+2}<\frac{\sqrt{2k+1}}{2k+2}$$

Докажем следующее неравенство:

$$\frac{\sqrt{2k+1}}{2k+2}<\frac{1}{\sqrt{2k+3}}$$

Избавляемся от дробей:

$$\sqrt{2k+3}\sqrt{2k+1}<2k+2$$

Возводим обе части в квадрат:

$$4k^2+8k+3<4k^2+8k+4$$

$$0<1$$

Мы доказали, что

$$\frac{\sqrt{2k+1}}{2k+2}<\frac{1}{\sqrt{2k+3}}$$

Теперь применим полученный результат для усиления неравенства для $k+1$:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{2k-1}{2k}\cdot \frac{2k+1}{2k+2}<\frac{\sqrt{2k+1}}{2k+2}<\frac{1}{\sqrt{2k+3}}$$

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{2k-1}{2k}\cdot \frac{2k+1}{2k+2}<\frac{1}{\sqrt{2k+3}}$$

Мы доказали индукционный переход. Это означает, что доказываемое неравенство выполняется для любых натуральных $n$.

$■$