Демидович
82

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующих последовательностей:

, где

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Итак, нам нужно показать, что

Рассмотрим последнее неравенство:

Воспользуемся следующим свойством модуля (см. прото-задачу П.1):

Далее будем работать с усиленным неравенством. Найденное для него будет по цепному неравенству работать и с исходным нервенством.

Воспользуемся еще одним свойством модуля (все та же прото-задача):

Из условия нам известно, что , поэтому все такие множители можно заменить на , еще более усилив неравенство:

Воспользвовавшись вышеуказанным свойством модуля, можно "вынести" степень за знаки модуля:

Вынесем за скобки :

В скобках воспользуемся формулой суммы членов геометрической прогрессии с первым членом, равным и таким же знаменателем:

По условию , поэтому в знаменателе дроби получим отрицательное число. Вынесем из знаменателя и применим его к скобке в числителе:

Заменяем скобку в неравенстве на полученное выражение:

Замечаем, что скобка всегда меньше , поэтому заменяем ее на :

Прологарифмируем неравенство по основанию . Так как по условию , то знак неравенства сменится на противоположный:

Итак, для любого нам достаточно взять по следующей формуле:

Тогда, какое-бы мы не взяли,

А раз такое произвольное

то, "возвращаясь" по длинной цепочке цепного неравенства мы приходим к тому, что для произвольного :

Мы доказали, что последовательность является фундаментальной, а значит она сходится.

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Свойства модуля
Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.