Демидович
9

Доказать неравенство:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Оба пункта доказываются по методу математической индукции.

Пункт а)

В индукционном переходе домножить обе части неравенства на .

Разложить в виде:

Усилить неравенство путем замены некоторых скобок на .

Пункт б)

В индукционном переходе домножить обе части неравенства на .

Доказать верность следующего усиления:

Решение

Пункт а)

База индукции: в качестве базы возьмем , так как по условию :

Индукционный переход:

Пусть неравенство выполняется для некоторого натурального :

Докажем, что оно верно и для . Умножим обе части неравенства на положительное !

можно записать так:

Подставляем эту форму обратно в правую часть неравенства:

Усилим неравенство, заменив все правые скобки , и так далее на :

Объединяем и под степенью :

Мы доказали индукционный переход. Это означает, что доказываемое неравенство выполняется для любых натуральных .

Пункт б)

Докажем по методу математической индукции.

База индукции: при имеем:

Индукционный переход:

Пусть неравенство выполняется для некоторого натурального :

Докажем, что оно выполняется и для . Домножим обе части на дробь :

Упрощаем правую часть:

Докажем следующее неравенство:

Избавляемся от дробей:

Возводим обе части в квадрат:

Мы доказали, что

Теперь применим полученный результат для усиления неравенства для :

Мы доказали индукционный переход. Это означает, что доказываемое неравенство выполняется для любых натуральных .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!