Доказать неравенство:
Доказать неравенство:
Оба пункта доказываются по методу математической индукции.
В индукционном переходе домножить обе части неравенства на .
Разложить в виде:
Усилить неравенство путем замены некоторых скобок на .
В индукционном переходе домножить обе части неравенства на .
Доказать верность следующего усиления:
База индукции: в качестве базы возьмем , так как по условию :
Индукционный переход:
Пусть неравенство выполняется для некоторого натурального :
Докажем, что оно верно и для . Умножим обе части неравенства на положительное !
можно записать так:
Подставляем эту форму обратно в правую часть неравенства:
Усилим неравенство, заменив все правые скобки , и так далее на :
Объединяем и под степенью :
Мы доказали индукционный переход. Это означает, что доказываемое неравенство выполняется для любых натуральных .
Докажем по методу математической индукции.
База индукции: при имеем:
Индукционный переход:
Пусть неравенство выполняется для некоторого натурального :
Докажем, что оно выполняется и для . Домножим обе части на дробь :
Упрощаем правую часть:
Докажем следующее неравенство:
Избавляемся от дробей:
Возводим обе части в квадрат:
Мы доказали, что
Теперь применим полученный результат для усиления неравенства для :
Мы доказали индукционный переход. Это означает, что доказываемое неравенство выполняется для любых натуральных .