Задача 91 — Демидович

Новый проект на основе наработок этого сайта.

Понятная теория, конспекты и задачник в одном сайте!

└─

└─

└─

└─

└─

└─

Нормальная

Доказать, что если

$n \to \infty lim x_{n} = a,$

то

$n \to \infty lim ∣ x_{n} ∣ = ∣ a ∣$

Зависимость

Указание

Докажите через определение предела и воспользуйтесь результатом задачи 21.

Решение

Распишем по определению предел $x_{n}$ :

$n \to \infty lim x_{n} = a \Leftrightarrow \forall ε > 0 \exists N = N (ε) \forall n > N : ∣ x_{n} - a ∣ < ε$

В пункте а) задачи 21 доказывалось, что

$∣ x - y ∣ \geq ∣∣ x ∣ - ∣ y ∣∣$

Применим это свойство модуля к последнему неравенству в определении выше:

$∣∣ x_{n} ∣ - ∣ a ∣∣ \leq ∣ x_{n} - a ∣ < ε$

$∣∣ x_{n} ∣ - ∣ a ∣∣ < ε$

Получается, что

$\forall ε > 0 \exists N = (ε) \forall n > N : ∣∣ x_{n} ∣ - ∣ a ∣∣ < ε$

Это по определению означает, что

$n \to \infty lim ∣ x_{n} ∣ = ∣ a ∣$

$■$

Зависимости