Обозначим исходную монотонную последовательность за $x_n$. Будем считать, что она монотонно возрастает (для убывания доказательство аналогичное).

Есть два варианта: $x_n$ может быть ограничена, а может и нет. Если она ограничена, то по признаку Вейерштрасса (любая монотонная и ограниченная последовательность сходится) это сразу означает, что $x_n$ сходится.

Предположим, что $x_n$ не ограничена. По определению это означает, что

$$\forall M>0\exists N:x_N>M$$

Но так как $x_n$ монотонно возрастает, то и все остальные остальные члены последовательности тоже больше $M$:

$$M<x_N\le x_{N+1}\le x_{N+2}\le \dots$$

Итак, для любого $M>0$ найдется такое $N$, что для любого $n>N$ будет выполняться неравенство $x_n>M$. По определению это означает, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=+\infty$$

Из условия нам известно, у $x_n$ есть некоторая сходящаяся подпоследовательность $x_{p_n}\to A$. Распишем, что это значит по определению:

$$\forall \epsilon >0\exists N=N(\epsilon )\forall n>N:|x_{p_n}-A|<\epsilon$$

Неравенство в конце раскроем по пункту 1 прото-задачи П-ссылка:

$$|x_{p_n}-A|<\epsilon \iff \{\begin{array}{l}{x}_{p_n}-A<\epsilon \\ x_{p_n}-A>-\epsilon \end{array}$$

Рассмотрим верхнее первое неравенство справа:

$$x_{p_n}-A<\epsilon$$

$$x_{p_n}<\epsilon +A$$

Итак, для любого $n>N$ будет выполняться неравенство $x_{p_n}<\epsilon +A$. В тоже время, для числа $|\epsilon +A|$ найдется такое $N^{\prime }$, что для любого $n>N^{\prime }$ будет выполняться неравенство

$$x_n>|\epsilon +A|\ge \epsilon +A$$

$$x_n>\epsilon +A$$

Так как $p_n$ (последовательность индексов у $x_{p_n}$) по определению является возрастающей подпоследовательностью натуральных чисел, то, рано или поздно, найдется такое $p_t$, что одновременно и $p_t>N^{\prime }$, и $p_t>N$.

Получаем два противоречащих друг другу неравенства:

$$\underset{\text{т.к. }{x}_n\to +\infty }{\underbrace{x_{p_t}>\epsilon +A}}\text{ и }\underset{\text{т.к. }{x}_{p_n}\to A}{\underbrace{x_{p_t}<\epsilon +A}}$$

Раз получили противоречие, значит наше предположение о том, что $x_n$ не ограничена было неверным.

Итак, монотонная $x_n$ в которой есть сходящаяся подпоследовательность всегда ограничена. Но любая монотонная и ограниченная последовательность сходится. Значит, $x_n$ сходится.

$■$