Задача 92 — Демидович

Откройте "Открытую Математику"!

Понятная теория, конспекты и задачник в одном флаконе!

└─

└─

└─

└─

└─

└─

Нормальная

Если $x_{n} \to a$ , то что можно сказать о пределе $n \to \infty lim \frac{x _{n + 1}}{x _{n}}$ ?

Ответ

Когда $x_{n} \neq = 0$ и $n \to \infty lim x_{n} \neq = 0$ получается следующее

$n \to \infty lim \frac{x _{n + 1}}{x _{n}} = 1$

Указание

Воспользуйтесь прото-задачей П-ссылка.

Решение

Мы будем исходить из предположения, что

$\frac{x _{n + 1}}{x _{n}}$

существует при любом натуральном $n$ , то есть $x_{n} \neq = 0$ .

Кроме того, будем считать, что $a \neq = 0$ .

Последовательность $x_{n + 1}$ получена из $x_{n}$ путем отбрасывания первого ее члена. По прото-задаче П-ссылка, предел $x_{n + 1}$ равен $a$ .

Тогда мы можем

$n \to \infty lim \frac{x _{n + 1}}{x _{n}} = \frac{n \to \infty lim x _{n + 1}}{n \to \infty lim x _{n}} = \frac{a}{a} = 1$

Итак, когда $x_{n} \neq = 0$ и $n \to \infty lim x_{n} \neq = 0$ имеем следующее

$n \to \infty lim \frac{x _{n + 1}}{x _{n}} = 1$

Зависимости