Свойства пределов

Доказать, что если последовательность $x_n(n=1,2,\dots )$ сходится, то любая ее подпоследовательность $x_{p_n}$ также сходится и имеет тот же самый предел:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{p_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$$

Доказать, что монотонная последовательность будет сходящейся, если сходится некоторая ее подпоследовательность.

Доказать, что если

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a,$$

то

$$\underset{n\to \infty }{\lim }|x_n|=|a|$$

Если $x_n\to a$, то что можно сказать о пределе $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}}{x_n}$?

Доказать, что сходящаяся числовая последовательность ограничена.

Доказать, что сходящаяся числовая последовательность достигает любо своей верхней грани, либо своей нижней грани, либо той и другой.

Построить примеры последовательностей всех трех типов.

Доказать, что числовая последовательность $x_n(n=1,2,\dots )$, стремящаяся к $+\infty$, обязательно достигает своей нижней грани.