Число Эйлера

Доказать, что последовательность

$$x_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n(n=1,2,\dots )$$

монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность

$$y_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}(n=1,2,\dots )$$

монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести, что эти последовательности имеют общий предел

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}=e$$

Доказать, что

$$0<e-{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n<\frac{3}{n}(n=1,2,\dots ).$$

При каких значениях показателя $n$ выражение ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ будет отличаться от числа $e$ меньше чем на $0.001$?

Пусть $p_n(n=1,2,\dots )$ — произвольная последовательность чисел, стремящаяся к $+\infty$ и $q_n(n=1,2,\dots )$ — произвольная последовательность чисел, стремящаяся к $-\infty (p_n,q_n\overline{\in }[-1,0])$. Доказать, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{p_n}\right)}^{p_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{q_n}\right)}^{q_n}=e$$

Зная, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e,$$

доказать, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots +\frac{1}{n!}\right)=e.$$

Вывести отсюда формулу

$$e=2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots +\frac{1}{n!}+\frac{{\Theta }_n}{n!n},$$

где $0<\Theta <1$, и вычислить число $e$ с точностью до $10^{-5}$.

Доказать, что число $e$ иррационально.

Доказать неравенства

$${\left(\frac{n}{e}\right)}^n<n!<e{\left(\frac{n}{2}\right)}^n$$

Доказать неравенства:

а) $\frac{1}{n+1}<\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n}$, где $n$ — любое натуральное число;

б) $1+\alpha <e^{\alpha }$, где $\alpha$ — вещественное число, отличное от нуля.

Доказать, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }n\left(a^{\frac{1}{n}}-1\right)=\ln a(a>0),$$

где $\ln a$ есть логарифм числа $a$ при основании $e=2.718\dots$.