Демидович
110

Для последовательности найти , , и , если:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Рассмотрим члены последовательности до номера включительно:

Легко показать, что

Для примера покажем это на примере :

Этим же способом доказываются все остальные случаи.

При члены последовательности будут строго положительными, поэтому

Рассмотри подпоследовательность, которая начинается с элемента исходной последовательности:

Так как — натуральное число, то

Вычтем из обеих сторон :

"Перевернем" дроби:

Но , поэтому

Значит — наибольший член подпоследовательности , а также больше первых отрицательных членов. Значит, — наибольший член последовательности :


Найдем предел последовательности

По прото-задаче П.16 мы можем отбросить первые членов последовательности и искать предел

"Зажем" эту последовательность между

"Последовательность" из стремится к . Последовательность тоже стремится к (см. прото-задачу П.10). А значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность стремится к .

Раз у исходной последовательности есть предел , то — единственная предельная точка (см. прото-задачу П.19), поэтому

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.
Неизменность предела последовательности
Сохранение предела последовательности при добавлении или отбрасывании конечного числа ее членов.