Для последовательности найти , , и , если:
Рассмотрим члены последовательности до номера включительно:
Легко показать, что
Для примера покажем это на примере :
Этим же способом доказываются все остальные случаи.
При члены последовательности будут строго положительными, поэтому
Рассмотри подпоследовательность, которая начинается с элемента исходной последовательности:
Так как — натуральное число, то
Вычтем из обеих сторон :
"Перевернем" дроби:
Но , поэтому
Значит — наибольший член подпоследовательности , а также больше первых отрицательных членов. Значит, — наибольший член последовательности :
Найдем предел последовательности
По прото-задаче П.16 мы можем отбросить первые членов последовательности и искать предел
"Зажем" эту последовательность между
"Последовательность" из стремится к . Последовательность тоже стремится к (см. прото-задачу П.10). А значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность стремится к .
Раз у исходной последовательности есть предел , то — единственная предельная точка (см. прото-задачу П.19), поэтому