Демидович
137

Пусть числовая последовательность удовлетворяет условию

Доказать, что существует.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Ограниченность

Итак, по методу математической индукции, что

База индукции: пусть . Получаем:

Индукционный переход:

Предположим, что равенство выполняется для какого-то натурального :

Рассмотрим теперь . По условию задачи

Но по предположению индукции , поэтому

Итак, мы доказали индукционный переход, а значит

Делим обе части на положительное и получаем, что

Значит, последовательность ограничена сверху числом .

Покажем теперь, что

Для всех номеров начиная со второго это выполняется, так как по условию

Осталось проверить . Предположим, что — отрицательное число. Тогда рассмотрим элемент по условию:

Получаем противоречие:

так как отрицательное число справа не может быть больше . Значит и тоже неотрицательное число.

Мы доказали, что

Делим обе части на положительное :

Итак, получаем финальное неравенство

Это означает, что ограничена.

Сходимость

Раз ограничена, то у нее есть конечные наибольший и наименьший частичные пределы (потому что в противном случае она была бы неограниченной).

Распишем наименьший частичный предел:

По определению предела это означает, что

Рассмотрим неравенство в конце:

Раскроем это неравенство по пункту 1 прото-задачи П.5:

Рассмотрим первое неравенство справа:

Прибавим к обеим частям :

Итак, получаем

Пусть теперь

Рассмотрим произвольный член последовательности у которого номер . Раз , то можно поделить с остатком на :

Тогда, воспользовавшись неравенством из условия:

Для слагаемого воспользуемся неравенством , которое мы доказали в самом начале решения:

Так как — остаток, то по определению , а значит:

Теперь делим обе части на положительное :

Докажем, что

Поделим обе части на положительное :

"Перевернем" дроби:

Вычитаем из обеих частей :

Но , а значит по определению наименьшего предела выше

Поэтому

Среди исходной последовательности встречаются все члены подпоследовательности , поэтому

Воспользуемся прото-задачей П.20 и возьмем предел обеих частей неравенства:

Выше мы воспользовались тем, что (см. прото-задачу П.10).

Итак, получили, что

Докажем, что

Докажем от противного. Пусть существует наибольший частичный предел :

Тогда возьмем . Тогда

Получили противоречие. Значит

Но

Получаем, что

А это возможно только если

Это означает, что у последовательности есть только одна предельная точка. По прото-задаче П.19 это означает, что сходится.

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Упрощение модулей в неравенствах
Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.
Предельный переход в неравенстве
Сохранение знака неравенства при переходе к пределам.