Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 141
Нормальная

Доказать, что если , то

предполагая, что предел, стоящий в правой части последнего равенства, существует.

Зависимость
Решение

По условию известно, что

Значит, по задаче 140 к тому же пределу сходится и последовательность средних геометрических:

Здесь мы воспользовались тем, что (см. прото-задачу П-ссылка).


Вновь рассмотрим исходную последовательность

Число , если бы оно было отрицательным, то с какого-то номера все элементы последовательности должны были быть отрицательными, но этого не может быть, так как по условию .

положительное

Распишем по определению, что означает :

Раз выполняется для любого положительного , то и для положительного существует какое-то , что для любого выполняется неравенство:

Распишем это неравенство в цепное с помощью пункта 1 прото-задачи П-ссылка:

Прибавим ко всем частям :

«Перевернем» дроби:

Умножим все части на положительное :

Возьмем корень -степени из каждой части неравенства:

Предел левой части неравенства:

Предел правой части неравенства:

Итак, обе части неравенства стремятся к , а значит, по теореме о двух милиционерах, «зажатая» между ними тоже стремится к :