Демидович
141

Доказать, что если , то

предполагая, что предел, стоящий в правой части последнего равенства, существует.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Воспользоваться подменой индексов.

Решение

По условию известно, что

Значит, по задаче 140 к тому же пределу сходится и последовательность средних геометрических:

Разбор 2
Петр Радько
Решение

По условию известно, что

Значит, по задаче 140 к тому же пределу сходится и последовательность средних геометрических:

Здесь мы воспользовались тем, что (см. прото-задачу П.10).


Вновь рассмотрим исходную последовательность

Число , если бы оно было отрицательным, то с какого-то номера все элементы последовательности должны были быть отрицательными, но этого не может быть, так как по условию .

положительное

Распишем по определению, что означает :

Раз выполняется для любого положительного , то и для положительного существует какое-то , что для любого выполняется неравенство:

Распишем это неравенство в цепное с помощью пункта 1 прото-задачи П.5:

Прибавим ко всем частям :

"Перевернем" дроби:

Умножим все части на положительное :

Возьмем корень -степени из каждой части неравенства:

Предел левой части неравенства:

Предел правой части неравенства:

Итак, обе части неравенства стремятся к , а значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними тоже стремится к :

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Упрощение модулей в неравенствах
Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.