Доказать, что если , то
предполагая, что предел, стоящий в правой части последнего равенства, существует.
Доказать, что если , то
предполагая, что предел, стоящий в правой части последнего равенства, существует.
Воспользоваться подменой индексов.
По условию известно, что
Значит, по задаче 140 к тому же пределу сходится и последовательность средних геометрических:
По условию известно, что
Значит, по задаче 140 к тому же пределу сходится и последовательность средних геометрических:
Здесь мы воспользовались тем, что (см. прото-задачу П.10).
Вновь рассмотрим исходную последовательность
Число , если бы оно было отрицательным, то с какого-то номера все элементы последовательности должны были быть отрицательными, но этого не может быть, так как по условию .
Распишем по определению, что означает :
Раз выполняется для любого положительного , то и для положительного существует какое-то , что для любого выполняется неравенство:
Распишем это неравенство в цепное с помощью пункта 1 прото-задачи П.5:
Прибавим ко всем частям :
"Перевернем" дроби:
Умножим все части на положительное :
Возьмем корень -степени из каждой части неравенства:
Предел левой части неравенства:
Предел правой части неравенства:
Итак, обе части неравенства стремятся к , а значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними тоже стремится к :