По условию известно, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}}{x_n}=A$$

Значит, по задаче 140 к тому же пределу сходится и последовательность средних геометрических:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}}{x_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{\frac{x_2}{x_1}\frac{x_3}{x_2}\dots \frac{x_{n+1}}{x_n}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{\frac{x_{n+1}}{x_1}}=A$$

По условию известно, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}}{x_n}=A$$

Значит, по задаче 140 к тому же пределу сходится и последовательность средних геометрических:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}}{x_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{\frac{x_2}{x_1}\frac{x_3}{x_2}\dots \frac{x_{n+1}}{x_n}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{\frac{x_{n+1}}{x_1}}=A$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{\frac{x_{n+1}}{x_1}}=\frac{\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{x_{n+1}}}{x_1^{\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}}}=\frac{\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{x_{n+1}}}{x_1^0}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{x_{n+1}}=A$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{x_{n+1}}=A$$

Здесь мы воспользовались тем, что $\frac{1}{n}\to 0$ (см. прото-задачу П.10).

Вновь рассмотрим исходную последовательность

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}}{x_n}=A$$

Число $A\ge 0$, если бы оно было отрицательным, то с какого-то номера $N$ все элементы последовательности $\frac{x_{n+1}}{x_n}$ должны были быть отрицательными, но этого не может быть, так как по условию $x_n>0$.

$A$ положительное

Распишем по определению, что означает $\frac{x_{n+1}}{x_n}\to A$:

$$\forall \epsilon >0\exists N=N(\epsilon )\forall n>N:\left|\frac{x_{n+1}}{x_n}-A\right|<\epsilon$$

Раз выполняется для любого положительного $\epsilon$, то и для положительного $\frac{A}{2}$ существует какое-то $N$, что для любого $n>N$ выполняется неравенство:

$$\left|\frac{x_{n+1}}{x_n}-A\right|<\frac{A}{2}$$

Распишем это неравенство в цепное с помощью пункта 1 прото-задачи П.5:

$$-\frac{A}{2}<\frac{x_{n+1}}{x_n}-A<\frac{A}{2}$$

Прибавим ко всем частям $A$:

$$\frac{A}{2}<\frac{x_{n+1}}{x_n}<\frac{3A}{2}$$

"Перевернем" дроби:

$$\frac{2}{3A}<\frac{x_n}{x_{n+1}}<\frac{2}{A}$$

Умножим все части на положительное $x_{n+1}$:

$$\frac{2}{3A}{x}_{n+1}<x_n<\frac{2}{A}{x}_{n+1}$$

Возьмем корень $n$-степени из каждой части неравенства:

$$\sqrt[n]{\frac{2}{3A}}\sqrt[n]{x_{n+1}}<\sqrt[n]{x_n}<\sqrt[n]{\frac{2}{A}}\sqrt[n]{x_{n+1}}$$

Предел левой части неравенства:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{\frac{2}{3A}}\sqrt[n]{x_{n+1}}={\left(\frac{2}{3A}\right)}^{\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}}\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{x_{n+1}}=1\cdot A=A$$

Предел правой части неравенства:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{\frac{2}{A}}\sqrt[n]{x_{n+1}}={\left(\frac{2}{A}\right)}^{\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}}\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{x_{n+1}}=1\cdot A=A$$

Итак, обе части неравенства стремятся к $A$, а значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними $\sqrt[n]{x_n}$ тоже стремится к $A$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{x_n}=A$$