Демидович
143

Доказать теорему Штольца, если

то

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Лемма о медианных дробях

Пусть даны две дроби

Тогда

Доказательство

Нам дано, что

Умножим обе части неравенства на :

Теперь докажем требуемое неравенство:

Доказательство левой части

Умножим обе части неравенства на :

Вычтем из обеих частей :

Как мы показали выше, это неравенство выполняется.

Доказательство правой части

Умножим обе части неравенства на :

Вычтем из обеих частей :

Как мы показали выше, это неравенство выполняется.

Имеется также важное следствие. Если

при , то

Доказывается оно элементарно поочередным применением самой леммы.

Вспомогательное неравенство

Из условия известно, что

Распишем это по определению:

Возьмем какое-нибудь произвольное . Раз определение выше выполняется для любого положительного числа, то и для положительного существует такое , что для любого выполняется неравенство

Раскроем это неравенство в цепоное по пункту 1 прото-задачи П.5:

Прибавим ко всем частям неравенства :

Примем теперь за , чтобы мы неравенство выше выполнялось для любых . Итак, неравенство выше выполняется для следующих дробей:

Расположим все эти дроби в порядке возрастания и применим к ним следствие из доказанной выше леммы о медианных дробях:

Вычтем из всех частей неравенства :

Воспользуемся пунктом 1 прото-задачи П.5 в обратную сторону и получаем важное вспомогательное неравенство, которое потребуется далее:

Сходимость

Теперь попробуем представить само выражение внутри модуля неравенства выше в другом виде:

Итак,

Начем изолировать выражение справа:

Рассмотрим теперь следующее выражение:

Воспользуемся свойством модуля (см. прото-задачу П.1):

Итак,

Поэтому

Осталось только разобраться с

Внутри модуля находится последовательность

которая стремится к с учетом того, что в числителе находится константа:

Мы воспользовались тем фактом, что если , то (см. прото-задачу П.9).

Распишем по определению, что значит стремление к у последовательности выше:

Раз выполняется для любого положительного , то и для положительного найдется такое , что для любого будет выполняться неравенство

Возвращаемся к :

Стоит отметить, что здесь речь идет уже о , чтобы одновременно выполнялись выведенное выше вспомогательное неравенство и неравенство из .

Мы показали, что какое ни возьми, всегда найдется такие и , что для любого будет выполняться неравенство

Это по определению означает, что

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Свойства модуля
Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.
Упрощение модулей в неравенствах
Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.
Связь б.м. и б.б. последовательностей
Полезное свойство перехода из б.м. последовательностей в б.б. и наоборот.