Что в числителе, что в знаменателе имеем положительные числа. Отрицательных чисел в результате этой функции получиться просто не может, как и $0$. Поэтому нижнюю границу уже получили: $0$.

Рассмотрим, при каких $x$ знаменатель получается больше числителя, то есть когда $f(x)<1$:

$$\begin{gathered} f(x)<1 \\ \frac{1+x^2}{1+x^4}<1 \\ 1+x^2<1+x^4 \\ {x}^2<x^4 \\ 1<x^2 \\ {x}^2-1>0 \\ (x-1)(x+1)>0 \end{gathered}$$

Последнее неравенство выполняется, когда обе скобки положительны, либо обе отрицательны. Для положительного случая имеем:

$$\begin{gathered} x-1>0x+1>0 \\ x>1x>-1 \\ x>1 \end{gathered}$$

Для отрицательного:

$$\begin{gathered} x-1<0x+1<0 \\ x<1x<-1 \\ x<-1 \end{gathered}$$

Итак, в $f(x)$ знаменатель больше числителя в двух случаях:

$$x<-1\text{ или }x>1$$

По прото-задаче П-ссылка эту запись можно упростить:

$$f(x)<1\text{ при }|x|>1$$

Итак, для всех $x$, кроме промежутка $[-1,1]$ функция $f(x)$ ограничена сверху $1$.

Пусть теперь $x$ принимает значения из этого самого промежутка $[-1,1]$, то есть $|x|\le 1$. Посмотрим еще раз на формулу функции:

$$f(x)=\frac{1+x^2}{1+x^4}$$

Раз $|x|<1$, то, возводя обе части в квадрат и пользуясь свойством модуля из прото-задачи П-ссылка имеем $x^2\le 1$. Это значит, что мы можем получить ограничивающее сверху неравенство, заменив в числителе $x^2$ на $1$:

$$\frac{1+x^2}{1+x^4}\le \frac{1+1}{1+x^4}=\frac{2}{1+x^4}$$

$$\frac{1+x^2}{1+x^4}\le \frac{2}{1+x^4}$$

Теперь обратим внимание на знаменатель. В нем мы к $1$ прибавляем $x^4$. Мы знаем, что при увеличении знаменателя вся дробь уменьшается. Поэтому можем заменить $x^4$ на $0$, получив еще одно ограничение сверху:

$$\frac{1+x^2}{1+x^4}\le \frac{2}{1+x^4}\le \frac{2}{1+0}=2$$

$$\frac{1+x^2}{1+x^4}\le \frac{2}{1+x^4}\le 2$$

олучили оценку сверху для $f(x)$ при $|x|<1$. Она равна $2$. Причем эта же оценка работает и для остальных $x$, так как там оценка была равна $1$.

Подводим итог: функция $f(x)$ ограничена снизу $0$, а сверху ограничена $2$.