Демидович
383

Показать, что функция

ограничена в интервале .

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Найдите ограничение снизу.

Найдите при каких знаменатель больше числителя, то есть .

Для оставшихся попробуйте поизменять для получения ограничения сверху.

Решение

Что в числителе, что в знаменателе имеем положительные числа. Отрицательных чисел в результате этой функции получиться просто не может, как и . Поэтому нижнюю границу уже получили: .

Рассмотрим, при каких знаменатель получается больше числителя, то есть когда :

Последнее неравенство выполняется, когда обе скобки положительны, либо обе отрицательны. Для положительного случая имеем:

Для отрицательного:

Итак, в знаменатель больше числителя в двух случаях:

По прото-задаче П.5 эту запись можно упростить:

Итак, для всех , кроме промежутка функция ограничена сверху .

Пусть теперь принимает значения из этого самого промежутка , то есть . Посмотрим еще раз на формулу функции:

Раз , то, возводя обе части в квадрат и пользуясь свойством модуля из прото-задачи П.1 имеем . Это значит, что мы можем получить ограничивающее сверху неравенство, заменив в числителе на :

Теперь обратим внимание на знаменатель. В нем мы к прибавляем . Мы знаем, что при увеличении знаменателя вся дробь уменьшается. Поэтому можем заменить на , получив еще одно ограничение сверху:

Доказательство

Получили оценку сверху для при . Она равна . Причем эта же оценка работает и для остальных , так как там оценка была равна .

Подводим итог: функция ограничена снизу , а сверху ограничена .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Свойства модуля
Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.
Упрощение модулей в неравенствах
Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.