Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 383
Нормальная

Показать, что функция

ограничена в интервале .

Указание

Найдите ограничение снизу.

Найдите при каких знаменатель больше числителя, то есть .

Для оставшихся попробуйте поизменять для получения ограничения сверху.

Решение

Что в числителе, что в знаменателе имеем положительные числа. Отрицательных чисел в результате этой функции получиться просто не может, как и . Поэтому нижнюю границу уже получили: .

Рассмотрим, при каких знаменатель получается больше числителя, то есть когда :

Последнее неравенство выполняется, когда обе скобки положительны, либо обе отрицательны. Для положительного случая имеем:

Для отрицательного:

Итак, в знаменатель больше числителя в двух случаях:

По прото-задаче П-ссылка эту запись можно упростить:

Итак, для всех , кроме промежутка функция ограничена сверху .

Пусть теперь принимает значения из этого самого промежутка , то есть . Посмотрим еще раз на формулу функции:

Раз , то, возводя обе части в квадрат и пользуясь свойством модуля из прото-задачи П-ссылка имеем . Это значит, что мы можем получить ограничивающее сверху неравенство, заменив в числителе на :

Теперь обратим внимание на знаменатель. В нем мы к прибавляем . Мы знаем, что при увеличении знаменателя вся дробь уменьшается. Поэтому можем заменить на , получив еще одно ограничение сверху:

Доказательство

Получили оценку сверху для при . Она равна . Причем эта же оценка работает и для остальных , так как там оценка была равна .

Подводим итог: функция ограничена снизу , а сверху ограничена .