Демидович
389

Определить верхнюю и нижнюю грани функций:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Верхняя грань

Докажите, что функция четная и получите из неравенства неравенство с .

Нижняя грань

Докажите, что является точной нижней гранью, построив последовательность значений функции, которая к нему стремится.

Решение

Покажем, что четная:

Значит, можем ограничиться только положительными .

Верхняя грань

Как уже написали выше, изучаем положительные :

Возводим обе части в квадрат:

Прибавляем к обеим частям :

Делим обе части на :

Получается, что является верхней границей . Она также является и точной, ведь, какую более маленькую границу не возьми, всегда окажется больше ее. Поэтому является наименьшей, то есть точной верхней гранью .

Нижняя грань

Замечаем, что при увеличении знаменатель уходит в бесконечность, отчего сама уходит в . Отсюда можно предположить, что и является точной нижней гранью.

По крайней мере, является обычной нижней границей, так как какой не возьми, всегда будет строго больше :

Покажем, что является наибольшей нижней границей. Для этого построим следующую последовательность значений функции:

Ее предел равен :

Доказательство

Последовательность можно "зажать" между двумя другими последовательностями:

Последовательность из слева стремится к . Последовательность справа тоже стремится к (см. прото-задачу П.10). Значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность тоже стремится к

По определению это означает, что какую окрестность не возьми, в ней всегда будет находится бесконечное число значений функции. Значит, не может существовать никакой нижней границы, большей , ведь тогда между ней и окажется бесконечно много значений функции.

Поэтому — точная нижняя грань .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.