Определить верхнюю и нижнюю грани функций:
Верхняя грань
Докажите, что функция четная и получите из неравенства неравенство с .
Нижняя грань
Докажите, что является точной нижней гранью, построив последовательность значений функции, которая к нему стремится.
Покажем, что четная:
Значит, можем ограничиться только положительными .
Верхняя грань
Как уже написали выше, изучаем положительные :
Возводим обе части в квадрат:
Прибавляем к обеим частям :
Делим обе части на :
Получается, что является верхней границей . Она также является и точной, ведь, какую более маленькую границу не возьми, всегда окажется больше ее. Поэтому является наименьшей, то есть точной верхней гранью .
Нижняя грань
Замечаем, что при увеличении знаменатель уходит в бесконечность, отчего сама уходит в . Отсюда можно предположить, что и является точной нижней гранью.
По крайней мере, является обычной нижней границей, так как какой не возьми, всегда будет строго больше :
Покажем, что является наибольшей нижней границей. Для этого построим следующую последовательность значений функции:
Ее предел равен :
Последовательность можно "зажать" между двумя другими последовательностями:
Последовательность из слева стремится к . Последовательность справа тоже стремится к (см. прото-задачу П.10). Значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность тоже стремится к
По определению это означает, что какую окрестность не возьми, в ней всегда будет находится бесконечное число значений функции. Значит, не может существовать никакой нижней границы, большей , ведь тогда между ней и окажется бесконечно много значений функции.
Поэтому — точная нижняя грань .