389 | Демидович. Решения

Покажем, что $f (x)$ четная:

$f (- x) = \frac{1}{1 + ( - x ) ^{2}} = \frac{1}{1 + ( - 1 ) ^{2} x ^{2}} = \frac{1}{1 + x ^{2}} = f (x)$

Значит, можем ограничиться только положительными $x$ .

Верхняя грань

Как уже написали выше, изучаем положительные $x$ :

$x \geq 0$

Возводим обе части в квадрат:

$x^{2} \geq 0$

Прибавляем к обеим частям $1$ :

$1 + x^{2} \geq 1$

Делим обе части на $1 + x^{2}$ :

$f (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}} \leq 1$

Получается, что $1$ является верхней границей $f (x)$ . Она также является и точной, ведь, какую более маленькую границу не возьми, всегда $f (0) = 1$ окажется больше ее. Поэтому $1$ является наименьшей, то есть точной верхней гранью $f (x)$ .

Нижняя грань

Замечаем, что при увеличении $x$ знаменатель $f (x)$ уходит в бесконечность, отчего сама $f (x)$ уходит в $0$ . Отсюда можно предположить, что $0$ и является точной нижней гранью.

По крайней мере, $0$ является обычной нижней границей, так как какой $x$ не возьми, $f (x)$ всегда будет строго больше $0$ :

$f (x) \geq 0 \frac{1}{1 + x ^{2}} \geq 01 \geq 0$

Покажем, что $0$ является наибольшей нижней границей. Для этого построим следующую последовательность значений функции:

$y_{n} = \frac{1}{1 + n ^{2}}$

Ее предел равен $0$ :

$n \to \infty lim y_{n} = 0$

Доказательство

Последовательность $y_{n}$ можно "зажать" между двумя другими последовательностями:

$0 \leq y_{n} = \frac{1}{1 + n ^{2}} \leq \frac{1}{n ^{2}}$

Последовательность из $0$ слева стремится к $0$ . Последовательность справа тоже стремится к $0$ (см. прото-задачу П.10). Значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность $y_{n}$ тоже стремится к $0$

$■$

По определению это означает, что какую окрестность $0$ не возьми, в ней всегда будет находится бесконечное число значений функции. Значит, не может существовать никакой нижней границы, большей $0$ , ведь тогда между ней и $0$ окажется бесконечно много значений функции.

Поэтому $0$ — точная нижняя грань $f (x)$ .

$■$