417 | Демидович. Решения

Числитель

Из каждой скобки вынесем $x$ в соответствующей степени:

$(x + 1) (x^{2} + 1) \dots (x^{n} + 1) = = x x^{2} \dots x^{n} (1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x ^{2}}) \dots (1 + \frac{1}{x ^{n}}) = = x^{1 + 2 + \dots + n} (1 + \frac{1}{x}) \dots (1 + \frac{1}{x ^{n}}) = = x^{\frac{n ( n + 1 )}{2}} (1 + \frac{1}{x}) \dots (1 + \frac{1}{x ^{n}})$

Выше мы воспользовались формулой суммы $n$ первых натуральных чисел. Она выводилась в задаче 1.

Знаменатель

Вытащим $x^{n}$ из под квадратных скобок:

$[(n x)^{n} + 1]^{\frac{n + 1}{2}} = [x^{n} (n^{n} + \frac{1}{x ^{n}})]^{\frac{n + 1}{2}} = x^{\frac{n ( n + 1 )}{2}} (n^{n} + \frac{1}{x ^{n}})^{\frac{n + 1}{2}}$

Значение предела

Воспользуемся полученными выражениями для числителя и знаменателя и, с помощью арифметический свойств пределов и прото-задачи П.28 найдем предел:

$x \to \infty lim \frac{x ^{\frac{n ( n + 1 )}{2}} ( 1 + \frac{1}{x} ) \dots ( 1 + \frac{1}{x ^{n}} )}{x ^{\frac{n ( n + 1 )}{2}} ( n ^{n} + \frac{1}{x ^{n}} ) ^{\frac{n + 1}{2}}} = = \frac{x \to \infty lim ( 1 + \frac{1}{x} ) \dots x \to \infty lim ( 1 + \frac{1}{x ^{n}} )}{x \to \infty lim ( n ^{n} + \frac{1}{x ^{n}} ) ^{\frac{n + 1}{2}}} = = \frac{( 1 + 0 ) \dots ( 1 + 0 )}{x \to \infty lim ( n ^{n} + \frac{1}{x ^{n}} ) ^{\frac{n + 1}{2}}} = \frac{1}{x \to \infty lim ( n ^{n} + \frac{1}{x ^{n}} ) ^{\frac{n + 1}{2}}}$

В знаменателе воспользуемся теоремой о пределах сложной (П.27) и степенной (П.29) функций.

$x \to \infty lim (n^{n} + \frac{1}{x ^{n}})^{\frac{n + 1}{2}} = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ y (x) = n^{n} + \frac{1}{x ^{n}} x \to \infty lim y (x) = n^{n} y \to n^{n} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = y \to n^{n} lim y^{\frac{n + 1}{2}} = n^{\frac{n ( n + 1 )}{2}}$

Это мы работали со знаменателем. Итак:

$x \to \infty lim \frac{( x + 1 ) ( x ^{2} + 1 ) \dots ( x ^{n} + 1 )}{[ ( n x ) ^{n} + 1 ] ^{\frac{n + 1}{2}}} = n^{- \frac{n ( n + 1 )}{2}}$