Если $m=n$, все выражение в круглых скобках становится равным $0$, а значит и предел его тоже равен $0$.

Пока будем исходить из того, что $m>n$. Приведем знаменатели в более удобный вид, вынеся $-1$ за скобки:

$$\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}=\frac{n}{x^n-1}-\frac{m}{x^m-1}=\dots$$

В знаменателе пользуемся равенством из прото-задачи П-ссылка:

$$\dots =\frac{n}{(x-1)(x^{n-1}+\dots +1)}-\frac{m}{(x-1)(x^{m-1}+\dots +1)}=\dots$$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\dots =\frac{n(x^{m-1}+\dots +1)-m(x^{n-1}+\dots +1)}{(x-1)(x^{n-1}+\dots +1)(x^{m-1}+\dots +1)}$$

Итак, нам нужно избавиться от $(x-1)$ в знаменателе. Значит, нужно «вытащить» такую же скобку из числителя.

Дальше мы работаем только с числителем!

$$n(x^{m-1}+\dots +1)-m(x^{n-1}+\dots +1)=\dots$$

Введем новое обозначение: $m=n+p$. Тогда $p=m-n$.

$$\begin{gathered} \dots =n(x^{m-1}+\dots +1)-(n+p)(x^{n-1}+\dots +1)= \\ =n(x^{m-1}+\dots +x^n)+n(x^{n-1}+\dots +1)- \\ -n(x^{n-1}+\dots +1)-p(x^{n-1}+\dots +1)= \\ =n(x^{m-1}+\dots +x^n)-p(x^{n-1}+\dots +1)=\dots \end{gathered}$$

Обратите внимание, что слева имеем сумму $n$ выражений вида

$$x^{m-1}+x^{m-2}+\dots +x+1$$

причем, в каждом выражении имеется $p$ слагаемых.

С другой стороны, справа имеем сумму $p$ выражений вида

$$x^{n-1}+x^{n-2}+\dots +x+1$$

причем, в каждом выражении $n$ слагаемых.

Тогда разность

$$n(x^{m-1}+\dots +x^n)-p(x^{n-1}+\dots +1)$$

можно представить в виде таблицы из $n$ строк с $p$ столбцами, в которой все ячейки складываются друг с другом:

$$\begin{array}{ccccc}{x}^{m-1}-x^{n-1}& x^{m-2}-x^{n-1}& \cdots & x^{n+1}-x^{n-1}& x^n-x^{n-1}\\ x^{m-1}-x^{n-2}& x^{m-2}-x^{n-2}& \cdots & x^{n+1}-x^{n-2}& x^n-x^{n-2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ x^{m-1}-x^{}& x^{m-2}-x^{}& \cdots & x^{n+1}-x^{}& x^n-x^{}\\ x^{m-1}-1^{}& x^{m-2}-1^{}& \cdots & x^{n+1}-1^{}& x^n-1^{}\end{array}$$

Из всех ячеек, кроме ячеек последней строки, вынесем $x$ в такой степени, чтобы справа оставалась единица. Так как по условию $x\to 1$, то все эти вынесенные $x$-ы обратятся в $1$ и не повлияют на значение предела.

$$\begin{array}{ccccc}{x}^p-1& x^{p-1}-1& \cdots & x^2-1& x-1\\ x^{p+1}-1& x^p-1& \cdots & x^3-1& x^2-1\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ x^{m-2}-1& x^{m-3}-1& \cdots & x^n-1& x^{n-1}-1\\ x^{m-1}-1& x^{m-2}-1& \cdots & x^{n+1}-1& x^n-1\end{array}$$

Видим, что из каждой ячейки таблицы можно вынести скобку $(x-1)$, а так как эта таблица и является числителем, то из всего числителя можно вынести $(x-1)$, которая сократится c $(x-1)$ в знаменателе. Основная задача достигнута — мы избавились от деления на $0$ в нашем пределе.

После вынесения $(x-1)$ за скобки в каждой ячейке остается сумма вида

$$x^i-1=\cancel{(x-1)}(x^{i-1}+x^{i-2}+\dots +x+1)$$

При стремлении $x$ к $1$ получаем сумму $i$ единиц:

$$1+1+\dots =i$$

Запишем полученные значения суммы в каждую ячейку таблицы:

$$\begin{array}{ccccc}p& p-1& \cdots & 2& 1\\ p+1& p& \cdots & 3& 2\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ m-2& m-3& \cdots & n& n-1\\ m-1& m-2& \cdots & n+1& n\end{array}$$

Замечаем, что в крайнем правом столбце имеем сумму $n$ натуральных чисел, начинающихся с $1$:

$$1+2+\dots +n$$

В столбце левее имеем сумму $n$ натуральных чисел, начинающихся с $2$:

$$2+3+\dots +(n+1)$$

Короче, каждый столбец представляет собой сумму $n$ членов арифметической прогрессии с разностью в $1$. Отличаются только первые члены этих прогрессий. Общая формула для суммы $n$ членов имеет вид:

$$\frac{a_1+a_n}{2}n$$

Выпишем полученные суммы для каждого столбца, начиная с самого правого:

$$\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n(n+3)}{2}+\dots +\frac{n(p+m-3)}{2}+\frac{n(p+m-1)}{2}$$

Вынесем за скобки $\frac{n}{2}$, а $m$ заменим на $n+p$:

$$\frac{n}{2}\left[(n+1)+(n+3)+\dots +(n+2p-3)+(n+2p-1)\right]$$

Всего в квадратных скобках имеем $p$ слагаемых (так как у нас $p$ столбцов в таблице). Поэтому эту сумму можно представить в другом виде:

$$\frac{n}{2}\left[pn+(1+3+\dots +2p-3+2p-1)\right]$$

В круглых скобках замечаем сумму $p$ нечетных чисел, начиная с $1$. Это арифметическая прогрессия с разностью $2$. Воспользуемся приведенной выше формулой сумму членов арифметической прогрессии:

$$1+3+\dots +2p-3+2p-1=\frac{(1+2p-1)p}{2}=p^2$$

Итак, наш многострадальный числитель имеет следующий вид:

$$\frac{n}{2}(pn+p^2)=\frac{np(n+p)}{2}=\frac{mnp}{2}$$

Напомню, что до начала преобразований с числителем наша дробь имела следующий вид:

$$\frac{n(x^{m-1}+\dots +1)-m(x^{n-1}+\dots +1)}{(x-1)(x^{n-1}+\dots +1)(x^{m-1}+\dots +1)}$$

Нам удалось вынести $(x-1)$ из числителя и сократить ее с $(x-1)$ в знаменателе. Деления на ноль уже не возникнет, поэтому можно сразу перейти к нахождению предела.

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n(x^{m-1}+\dots +1)-m(x^{n-1}+\dots +1)}{(x-1)(x^{n-1}+\dots +1)(x^{m-1}+\dots +1)}= \\ =\frac{\frac{mnp}{2}}{mn}=\frac{p}{2}=\frac{m-n}{2} \end{gathered}$$

Все расчеты мы проводили исходя из того, что $m>n$. Если это не так, то мы можем вынести $-1$ из выражениях в скобках в условии и вновь получить вариант, когда из большего вычитается меньшее. В результате придем к формуле

$$-\frac{n-m}{2}=\frac{m-n}{2}$$

Видим, что полученная итоговая формула не зависит от того, $m>n$ или $n>m$.

Новое обозначение

В прото-задаче П-ссылка мы доказали следующее равенство:

$$x^p-1=(x-1)(x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1)$$

Обозначим сумму справа за $S_p(x)$:

$$S_p(x)=\sum _{i=1}^p{x}^{i-1}=x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +1$$

Тогда

$$x^p-1=(x-1)S_p(x)$$

Найдем значение следующего предела, пользуясь пределом многочлена из П-ссылка:

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^p-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }{S}_p(x)=S_p(1)=p$$

Наконец, с помощью найденного значения выше, а также с помощью формулы суммы первых $n$ натуральных чисел из задачи 1 найдем значение вот такого предела:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1}{\lim }\frac{S_p(x)-p}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +1-p}{x-1}= \\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x^{p-1}-1)+(x^{p-2}-1)+\dots +(x-1)}{x-1}= \\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^{p-1}-1}{x-1}+\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^{p-2}-1}{x-1}+\dots +\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{x-1}= \\ =\underset{x\to 1}{\lim }{S}_{p-1}(x)+\underset{x\to 1}{\lim }{S}_{p-2}(x)+\dots +\underset{x\to 1}{\lim }{S}_1(x)= \\ =1+2+\dots +(p-2)+(p-1)= \\ =\frac{p(p-1)}{2} \end{gathered}$$

Поиск значения предела

Поработаем сначала с выражением из условия:

$$\begin{gathered} \frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}= \\ =\frac{n}{(x-1)S_n(x)}-\frac{m}{(x-1)S_m(x)}=\frac{n{S}_m(x)-m{S}_n(x)}{(x-1)S_n(x)S_m(x)}= \\ =\frac{1}{S_n(x)S_m(x)}\left[\frac{n{S}_m(x)-mn+mn-m{S}_n(x)}{x-1}\right]= \\ =\frac{1}{S_n{S}_m(x)}\left[n\frac{S_m(x)-m}{x-1}-m\frac{S_n(x)-n}{x-1}\right] \end{gathered}$$

Найдем теперь значение предела, пользуясь результатами из начала решения:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{S_n{S}_m(x)}\left[n\frac{S_m(x)-m}{x-1}-m\frac{S_n(x)-n}{x-1}\right]= \\ =\frac{1}{mn}\left[n\underset{x\to 1}{\lim }\frac{S_m(x)-m}{x-1}-m\underset{x\to 1}{\lim }\frac{S_n(x)-n}{x-1}\right]= \\ =\frac{1}{mn}\left[n\frac{m(m-1)}{2}-m\frac{n(n-1)}{2}\right]= \\ =\frac{m-1}{2}-\frac{n-1}{2}=\frac{m-n}{2} \end{gathered}$$