Демидович
428

Найти значения следующих выражений:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Воспользуйтесь прото-задачей П.4.

Также вам понадобится формула суммы членов арифметической прогрессии с первым членом, равным :

Решение

Если , все выражение в круглых скобках становится равным , а значит и предел его тоже равен .


Пока будем исходить из того, что . Приведем знаменатели в более удобный вид, вынеся за скобки:

В знаменателе пользуемся равенством из прото-задачи П.4:

Приведем дроби к общему знаменателю:

Итак, нам нужно избавиться от в знаменателе. Значит, нужно "вытащить" такую же скобку из числителя.


Дальше мы работаем только с числителем!

Введем новое обозначение: . Тогда .

Обратите внимание, что слева имеем сумму выражений вида

причем, в каждом выражении имеется слагаемых.

С другой стороны, справа имеем сумму выражений вида

причем, в каждом выражении слагаемых.

Тогда разность

можно представить в виде таблицы из строк с столбцами, в которой все ячейки складываются друг с другом:

Из всех ячеек, кроме ячеек последней строки, вынесем в такой степени, чтобы справа оставалась единица. Так как по условию , то все эти вынесенные -ы обратятся в и не повлияют на значение предела.

Видим, что из каждой ячейки таблицы можно вынести скобку , а так как эта таблица и является числителем, то из всего числителя можно вынести , которая сократится c в знаменателе. Основная задача достигнута — мы избавились от деления на в нашем пределе.

После вынесения за скобки в каждой ячейке остается сумма вида

При стремлении к получаем сумму единиц:

Запишем полученные значения суммы в каждую ячейку таблицы:

Замечаем, что в крайнем правом столбце имеем сумму натуральных чисел, начинающихся с :

В столбце левее имеем сумму натуральных чисел, начинающихся с :

Короче, каждый столбец представляет собой сумму членов арифметической прогрессии с разностью в . Отличаются только первые члены этих прогрессий. Общая формула для суммы членов имеет вид:

Выпишем полученные суммы для каждого столбца, начиная с самого правого:

Вынесем за скобки , а заменим на :

Всего в квадратных скобках имеем слагаемых (так как у нас столбцов в таблице). Поэтому эту сумму можно представить в другом виде:

В круглых скобках замечаем сумму нечетных чисел, начиная с . Это арифметическая прогрессия с разностью . Воспользуемся приведенной выше формулой сумму членов арифметической прогрессии:

Итак, наш многострадальный числитель имеет следующий вид:


Напомню, что до начала преобразований с числителем наша дробь имела следующий вид:

Нам удалось вынести из числителя и сократить ее с в знаменателе. Деления на ноль уже не возникнет, поэтому можно сразу перейти к нахождению предела.


Все расчеты мы проводили исходя из того, что . Если это не так, то мы можем вынести из выражениях в скобках в условии и вновь получить вариант, когда из большего вычитается меньшее. В результате придем к формуле

Видим, что полученная итоговая формула не зависит от того, или .

Указание

Воспользуйтесь прото-задачей П.4.

Введите следующее обозначение:

Найдите значения следующих двух пределов и воспользуйтесь ими для решения задачи:

Решение

Новое обозначение

В прото-задаче П.4 мы доказали следующее равенство:

Обозначим сумму справа за :

Тогда

Найдем значение следующего предела, пользуясь пределом многочлена из П.28:

Наконец, с помощью найденного значения выше, а также с помощью формулы суммы первых натуральных чисел из задачи 1 найдем значение вот такого предела:

Поиск значения предела

Поработаем сначала с выражением из условия:

Найдем теперь значение предела, пользуясь результатами из начала решения:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Разность степеней через произведение
Возможность записать разность двух чисел с одинаковыми показателями степени в виде произведения двух удобных скобок.
Элементарные пределы
Пределы функций, к которым сводятся множество задач.