Рассмотрим произвольное слагаемое в квадратных скобках:

$${\left(x+\frac{a}{n}i\right)}^2=x^2+\frac{2a}{n}i+{\left(\frac{a}{n}\right)}^2{i}^2$$

Переменная $i$ пробегает натуральные числа от $1$ до $n-1$, значит имеем $n-1$ слагаемых:

$$\begin{gathered} \left[{\left(x+\frac{a}{n}\right)}^2+{\left(x+\frac{2a}{n}\right)}^2+\dots +{\left(x+\frac{(n-1)a}{n}\right)}^2\right]= \\ =(x^2+x^2+\dots )+ \\ +\frac{2a}{n}[1+2+\dots +(n-1)]+ \\ +{\left(\frac{a}{n}\right)}^2\left[1^2+2^2+\dots +(n-1{)}^2\right]=\dots \end{gathered}$$

Пользуемся формулами для суммы первых $n-1$ натуральных чисел из задачи 1 и суммы первых $n-1$ квадратов натуральных чисел из задачи 2:

$$\begin{gathered} \dots =(n-1)x^2+\frac{2a}{n}\frac{n(n-1)}{2}+\frac{a^2}{n^2}\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}= \\ =(n-1)x^2+(n-1)a+\frac{(n-1)\left(2-\frac{1}{n}\right)a^2}{6}= \\ =(n-1)\left[x^2+a+\frac{\left(2-\frac{1}{n}\right)a^2}{6}\right] \end{gathered}$$

Теперь найдем значение предела, пользуясь элементарными пределами последовательностей из П.10:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\left[{\left(x+\frac{a}{n}\right)}^2+{\left(x+\frac{2a}{n}\right)}^2+\dots +{\left(x+\frac{(n-1)a}{n}\right)}^2\right]= \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n-1}{n}\left[x^2+a+\frac{\left(2-\frac{1}{n}\right)a^2}{6}\right]= \\ =1\cdot \left[x^2+a+\frac{(2-0)a^2}{6}\right]= \\ =x^2+a+\frac{a^2}{3} \end{gathered}$$