В числителе воспользуемся формулой разности косинусов (см. указание), а также теоремой о пределе сложной функции (П-ссылка), первым замечательным пределом (П-ссылка) и непрерывностью синуса (П-ссылка).

$$\begin{gathered} \underset{x\to a}{\lim }\frac{\cos x-\cos a}{x-a}=\underset{x\to a}{\lim }-\frac{\sin \left(\frac{x+a}{2}\right)\sin \left(\frac{x-a}{2}\right)}{\frac{x-a}{2}}= \\ =\left|\begin{array}{c}y=\frac{x-a}{2}\\ \underset{x\to a}{\lim }y(x)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{x-a}{2}=\frac{a-a}{2}=0\\ y\to 0\end{array}\right|= \\ =\underset{x\to a}{\lim }-\sin \left(\frac{x+a}{2}\right)\underset{y\to 0}{\lim }\frac{\sin y}{y}=\sin \left(a\right) \end{gathered}$$