В числителе воспользуемся формулой разности косинусов (см. указание), а так же приведем знаменатель к такому виду, чтобы удобно было сократить появившуюся двойку:

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\cos x-\cos a}{x-a}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{-\cancel{2}\sin \left(\frac{x+a}{2}\right)\sin \left(\frac{x-a}{2}\right)}{\cancel{2}\frac{x-a}{2}}=\dots$$

Замечаем, что дробь в знаменателе и аргумент второго синуса одинаковые. И при этом делятся друг на друга. А это и есть первый замечательный предел, который можно получить, совершив замену перменной и использовав теорему о пределе сложной функции:

$$\begin{gathered} \dots =-\underset{x\to a}{\lim }\frac{\sin \left(\frac{x+a}{2}\right)\sin \left(\frac{x-a}{2}\right)}{\frac{x-a}{2}}=\left|\begin{array}{c}y=\frac{x-a}{2}\\ \underset{x\to a}{\lim }y(x)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{x-a}{2}=\frac{a-a}{2}=0\\ y\to 0\end{array}\right|= \\ =-\underset{x\to a}{\lim }\sin \left(\frac{x+a}{2}\right)\underset{y\to 0}{\lim }\frac{\sin y}{y}=\dots \end{gathered}$$

Справа получили первый замечательный предел, который стремится к $1$. Слева же можно воспользоваться непрерывностью синуса и напрямую подставить $a$ вместо $x$:

$$\dots =-\sin \left(\frac{a+a}{2}\right)=-\sin (a)$$