Найдем, чему равна разность тангенсов в числителе, используя формулу синуса разности углов (см. указание):

$$\begin{gathered} \mathrm{tg}x-\mathrm{tg}a=\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\sin x\cos a-\sin a\cos a}{\cos x\cos a}= \\ =\frac{\sin \left(x-a\right)}{\cos x\cos a} \end{gathered}$$

В числителе воспользуемся полученной выше формулой разности тангенсов, а также теоремой о пределе сложной функции (П-ссылка), первым замечательным пределом (П-ссылка) и непрерывностью косинуса (П-ссылка).

$$\begin{gathered} \underset{x\to a}{\lim }\frac{\mathrm{tg}x-\mathrm{tg}a}{x-a}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{\sin (x-a)}{x-a}\cdot \frac{1}{\cos x\cos a}= \\ =\left|\begin{array}{c}y=x-a\\ \underset{x\to a}{\lim }y(x)=\underset{x\to a}{\lim }x-a=a-a=0\\ y\to 0\end{array}\right|= \\ =\underset{y\to 0}{\lim }\frac{\sin y}{y}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\cos x\cos a}=\frac{1}{{\cos }^{2}a}={\sec }^{2}a \end{gathered}$$

Не забываем, что $a$ в этой задаче не может принимать значения, при которых косинус в знаменателе тангенса и косеканса равен $0$, а именно:

$$a\ne (2k+1)\frac{\pi }{2}k\in \mathbb{Z}$$