Пользуясь формулой синуса разности найдем, чем равна разность тангенсов:

$$\begin{gathered} \mathrm{tg}\alpha -\mathrm{tg}\beta =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-\frac{\sin \beta }{\cos \beta }=\frac{\sin \alpha \cos \beta -\sin \beta \cos \alpha }{\cos \alpha \cos \beta }= \\ =\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \cos \beta } \end{gathered}$$

Воспользуемся найденной формулой разности тангенсов для упрощения числителя:

$$\begin{gathered} \mathrm{tg}(a+2x)-2\mathrm{tg}(a+x)+\mathrm{tg}a= \\ =\mathrm{tg}(a+2x)-\mathrm{tg}(a+x)+\mathrm{tg}a-\mathrm{tg}(a+x)= \\ =\frac{\sin x}{\cos (a+2x)\cos (a+x)}+\frac{\sin (-x)}{\cos (a)\cos (a+x)}= \\ =\sin (x)\left[\frac{1}{\cos (a+2x)\cos (a+x)}-\frac{1}{\cos (a)\cos (a+x)}\right]= \\ =\sin (x)\frac{\cos a-\cos (a+2x)}{\cos (a+2x)\cos (a+x)\cos (a)}=\dots \end{gathered}$$

Воспользуемся формулой разности косинусов (см. указание):

$$\begin{gathered} \dots =\sin (x)\frac{-2\sin \left(a+x\right)\sin (-x)}{\cos (a+2x)\cos (a+x)\cos (a)}= \\ =2{\sin }^2(x)\mathrm{tg}(a+x)\frac{1}{\cos (a+2x)\cos (a)} \end{gathered}$$

Теперь воспользуемся упрощенным числителем и решим задачу с применением теоремы о пределе сложной функции (П-ссылка), первого замечательного предела (П-ссылка), также непрерывности тригонометрических функция (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}(a+2x)-2\mathrm{tg}(a+x)+\mathrm{tg}a}{x^2}= \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2{\sin }^2(x)\mathrm{tg}(a+x)}{x^2\cos (a+2x)\cos (a)}= \\ =\left|\begin{array}{c}u=a+x,v=a+2x\\ u\to a,v\to a\end{array}\right|= \\ =\frac{2}{\cos a}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\sin }^2(x)}{x^2}\underset{u\to a}{\lim }\mathrm{tg}(u)\frac{1}{\underset{v\to a}{\lim }\cos (v)}= \\ =\frac{2\mathrm{tg}a}{{\cos }^{2}a} \end{gathered}$$