Пользуясь формулой синуса разности найдем, чем равна разность котангенсов:

$$\begin{gathered} \mathrm{ctg}\alpha -\mathrm{ctg}\beta =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }-\frac{\cos \beta }{\sin \beta }=-\frac{\sin \alpha \cos \beta -\sin \beta \cos \alpha }{\sin \alpha \sin \beta }= \\ =-\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\sin \alpha \sin \beta } \end{gathered}$$

Воспользуемся найденной формулой разности тангенсов для упрощения числителя:

$$\begin{gathered} \mathrm{ctg}(a+2x)-2\mathrm{ctg}(a+x)+\mathrm{ctg}a= \\ =\mathrm{ctg}(a+2x)-\mathrm{ctg}(a+x)+\mathrm{ctg}a-\mathrm{ctg}(a+x)= \\ =-\frac{\sin x}{\sin (a+2x)\sin (a+x)}-\frac{\sin (-x)}{\sin (a)\sin (a+x)}= \\ =\sin (x)\left[\frac{1}{\sin (a)\sin (a+x)}-\frac{1}{\sin (a+2x)\sin (a+x)}\right]= \\ =\sin (x)\frac{\sin (a+2x)-\sin (a)}{\sin (a+2x)\sin (a+x)\sin (a)}=\dots \end{gathered}$$

Воспользуемся формулой разности синусов (см. указание):

$$\begin{gathered} \dots =\sin (x)\frac{2\sin \left(x\right)\cos (a+x)}{\sin (a+2x)\sin (a+x)\sin (a)}= \\ =2{\sin }^2(x)\mathrm{ctg}(a+x)\frac{1}{\sin (a+2x)\sin (a)} \end{gathered}$$

Теперь воспользуемся упрощенным числителем и решим задачу с применением теоремы о пределе сложной функции (П-ссылка), первого замечательного предела (П-ссылка), также непрерывности тригонометрических функция (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{ctg}(a+2x)-2\mathrm{ctg}(a+x)+\mathrm{ctg}a}{x^2}= \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2{\sin }^2(x)\mathrm{ctg}(a+x)}{x^2\sin (a+2x)\sin (a)}= \\ =\left|\begin{array}{c}u=a+x,v=a+2x\\ u\to a,v\to a\end{array}\right|= \\ =\frac{2}{\sin a}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\sin }^2(x)}{x^2}\underset{u\to a}{\lim }\mathrm{ctg}(u)\frac{1}{\underset{v\to a}{\lim }\sin (v)}= \\ =\frac{2\mathrm{ctg}a}{{\sin }^{2}a} \end{gathered}$$