Демидович
62

Доказать следующие равенства:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Внимательно разберите ход решения прото-задачи П.12.

Решение

Внимательно разберите ход решения прото-задачи П.12. Убедитесь, что вы все поняли. В этом решении будут комментироваться только основные моменты.


Если = 0, то


Воспользуемся свойством модуля (см. прото-задачу П.1):

Применим его для в последовательности из условия:

Воспользуемся еще одним свойством модуля (из все той же прото-задачи):

С помощью этого свойства можно "вытащить" показатель степени из-под модуля:

Поэтому полученное для цепное неравенство можно переписать так:

Умножим это неравенство на положительное :

Нам достаточно лишь показать, что

Если это так, последовательность из условия будет автоматом "зажата" между двумя последовательностями, стремящимися к , а значит, по теореме о двух милиционерах, сама будет стремиться к .


Итак, дальше мы будем доказывать, что

Путь доказательства абсолютно такой же, что и в доказательстве в прото-задаче П.12. Внимательно его изучите. Далее будут только основные шаги, некоторые переходы не будут поясняться!


Представим последовательность в рекуррентом виде:

где, последовательность отношений.

Выясним, чему равен каждый член :


Покажем, что последовательность отношений убывает:

Делим обе части на (смены знаков не будет, так как ):

Обе части умножаем на :

Итак, мы доказали, что убывает.


Докажем, что найдется такой номер , что будет строго меньше :

Разбираемся с неравенством в конце:

Делим обе части на и упрощаем дробь слева:

Вычитаем из обеих частей:

"Переворачиваем" дроби (знак не поменяется, так как , так как по условию):

должно быть натуральным (ведь это номер элемента последовательности), поэтому возьмем за округление сверху ("потолок") полученного выше выражения, увеличенного на :

Итак, мы нашли такой номер , что соответствующий ему член последовательности отношений будет строго меньше .


Теперь сразу переходим к готовому неравенству (разъяснение смотрите в прото-задаче, о которой говорилось выше):

Заменим и на соостветствующие выражения:

Теперь "зажмем" эту последовательность между и правой частью выведенного неравенства:

На первые членов последовательности, для которых неравенство в правой части может не выполняться не обращаем внимание. На предел они не окажут никакого влияния (см. прото-задачу П.16).

"Последовательность" в левой части неравенства состоит из одних и, очевидно, стремится к .

Выясним предел последовательности в правой части неравенства (принимая во внимание, что дробь является громоздкой константой и не зависит от ):

Тут мы использовали тот факт, геометрическая прогрессия со знаменателем, который меньше у нас по определению меньше ) стремится к (см. прото-задачу П.14).

Итак, наша последовательность зажата с одной строны нулем (который ) и, начиная с номера , зажата с другой стороны убывающей геометрической прогрессией (которая тоже ), а значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" последовательность тоже стремится к .

Это означает, что последовательности слева и справа в выведенном в начале решения неравенстве стремятся к :

И вновь, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность тоже стремится к :

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Свойства модуля
Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.
Отношение степенной и показательной последовательностей
Предел отношения степенной и показательной последовательностей равен 0.
Предел геометрической прогрессии
Сходимость к нулю убывающих и к бесконечности возрастающих геометрических прогрессий.
Неизменность предела последовательности
Сохранение предела последовательности при добавлении или отбрасывании конечного числа ее членов.