Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 71
Нормальная

Пусть — произвольная последовательность чисел, стремящаяся к и — произвольная последовательность чисел, стремящаяся к . Доказать, что

Зависимость
Указание

Доказательство для

Докажите, что выполняется неравенство

где — последовательность, состоящая из натуральных чисел и стремящаяся к .

Доказательство для

Введите новую последовательность:

С помощью этого обозначения проведите доказательство.

Решение

Доказательство для

Раз то отбросим конечное число первых членов этой последовательности, которые меньше . По прото-задаче П-ссылка при рассмотрении только тех членов , которые больше искомый предел не изменится.

Итак, дальше исходим из того, что .

Докажем, что

Рассмотрим следующую последовательность :

Раз , то и .

Воспользуемся неравенством

Доказательство неравенства

Докажем, что для любого выполняется неравенство

Рассмотрим, какие значения может принимать разница

Эта разница равна , когда — целое число и в остальных случаях.

В любом случае, выполняется неравенство

Тогда

Отсюда

«Перевернем» дроби:

Прибавим ко всем частям неравенства по :

Тогда

Пояснение с возведением в степень

Докажем, что если

и

то

Прологарифмируем первое неравенство сверху:

Умножим это неравенство на второе сверху:

Представим каждую часть неравенства как показатель степени с основанием (знак неравенств не изменится, так как ):

Рассмотрим отдельно пределы последовательностей в правой и левой частях этого неравенства.

Предел правой части

Из задачи 69 известно

Последовательность состоит только из натуральных чисел и стремится к , а значит, по прото-задаче П-ссылка

Предел левой части

Известно, что

Последовательность состоит только из натуральных чисел и стремится к (так как этим условиям удовлетворяет ), а значит, по прото-задаче П-ссылка

Раз последовательность , то, по прото-задаче П-ссылка последовательность :

Теперь мы можем найти предел левой части неравенства:

К неравенству

Итак, в неравенстве

последовательности слева и справа стремятся к , значит, по теореме о двух милиционерах, «зажатая» между ними последовательность тоже стремится к :

Доказательство для

Из условия . Тогда введем новую последовательность

Тогда .

Рассмотрим последовательность, предел которой надо найти:

Найдем предел

с учетом того, что последовательность , так как , а сходимость к для бесконечно больших последовательностей мы уже доказали выше.

Итак, мы доказали, что