Демидович
71

Пусть — произвольная последовательность чисел, стремящаяся к и — произвольная последовательность чисел, стремящаяся к . Доказать, что

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Доказательство для

Докажите, что выполняется неравенство

где — последовательность, состоящая из натуральных чисел и стремящаяся к .

Доказательство для

Введите новую последовательность:

С помощью этого обозначения проведите доказательство.

Решение

Доказательство для

Раз то отбросим конечное число первых членов этой последовательности, которые меньше . По прото-задаче П.16 при рассмотрении только тех членов , которые больше искомый предел не изменится.

Итак, дальше исходим из того, что .

Докажем, что

Рассмотрим следующую последовательность :

Раз , то и .

Воспользуемся неравенством

Доказательство неравенства

Докажем, что для любого выполняется неравенство

Рассмотрим, какие значения может принимать разница

Эта разница равна , когда — целое число и в остальных случаях.

В любом случае, выполняется неравенство

Тогда

Отсюда

"Перевернем" дроби:

Прибавим ко всем частям неравенства по :

Тогда

Пояснение с возведением в степень

Докажем, что если

и

то

Прологарифмируем первое неравенство сверху:

Умножим это неравенство на второе сверху:

Представим каждую часть неравенства как показатель степени с основанием (знак неравенств не изменится, так как ):

Рассмотрим отдельно пределы последовательностей в правой и левой частях этого неравенства.

Предел правой части

Из задачи 69 известно

Последовательность состоит только из натуральных чисел и стремится к , а значит, по прото-задаче П.13

Предел левой части

Известно, что

Последовательность состоит только из натуральных чисел и стремится к (так как этим условиям удовлетворяет ), а значит, по прото-задаче П.13

Раз последовательность , то, по прото-задаче П.9 последовательность :

Теперь мы можем найти предел левой части неравенства:

К неравенству

Итак, в неравенстве

последовательности слева и справа стремятся к , значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность тоже стремится к :

Доказательство для

Из условия . Тогда введем новую последовательность

Тогда .

Рассмотрим последовательность, предел которой надо найти:

Найдем предел

с учетом того, что последовательность , так как , а сходимость к для бесконечно больших последовательностей мы уже доказали выше.

Итак, мы доказали, что

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Связь б.м. и б.б. последовательностей
Полезное свойство перехода из б.м. последовательностей в б.б. и наоборот.
Сходимость по расширенным индексам
Сохранение сходимости при замене индексов на произвольную бесконечно большую последовательность натуральных чисел.
Неизменность предела последовательности
Сохранение предела последовательности при добавлении или отбрасывании конечного числа ее членов.