Демидович
72

Зная, что

доказать, что

Вывести отсюда формулу

где , и вычислить число с точностью до .

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Введем обозначение:

Лемма

Докажем, что

В прото-задаче П.24 в процессе рассуждений мы получили следующее равенство:

где

Составим неравенство, убрав из все слагаемые после :

Заметим, что количество слагаемых справа конечно.

Возьмем предел обеих частей по прото-задаче П.20:

Найдем теперь предел

Тогда

Важно отметить, что мы зафиксировали . Но можно фиксировать и , и так далее, отодвигая при необходимости в . Другими словами, для любого выполняется неравенство:

На самом деле, выполняется и более строгий вариант:

Действительно, справа стоит последовательность. Ее следующей член получается добавлением нового слагаемого , поэтому общая сумма только увеличится, то есть это строго возрастающая последовательность. Если бы какой-то член этой последовательности оказался бы равен , то уже со следующего члена последовательность будет уже строго больше . Получили противоречие. Значит, выполняется строгое неравенство.

Итак,

Доказательство сходимости

В прото-задачи П.24 в процессе рассуждений мы получили следующее неравенство:

Но в лемме выше мы показали, что

Объединяем в одно цепное неравенство:

Последовательность слева по определению сходится к . "Последовательность" из справа тоже сходится к . А значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность тоже сходится к :

Вывод формулы

Введем обозначение:

Рассмотрим разницу:

Отсюда очевидно, что .

Вынесем за скобки дробь :

В больших скобках справа в знаменателях можно заменить все скобки на :

В скобках имеем сумму членов геометрической прогрессии. Воспользуемся свойством, что если знаменатель , то

Доказательство

Пусть . Докажем, что

Для суммы слева воспользуемся суммой членой геометрической прогрессии:

Получим неравенство, заменив на :

Применяем это свойство:

Итак, имеем следующее цепное неравенство:

Считаем, что — фиксированное число и по прото-задаче П.20 находим предел при всех частей неравенства:

Здесь мы воспользовались тем, что , так как — подпоследовательность последовательности (помним, что — фиксированное число), а значит, по прото-задаче П.19 раз , то и любая ее подпоследовательность тоже стремится к , то есть .

Итак:

Докажем, что

В лемме мы показали, что , поэтому :

Число по середине будем называть :

Так как

Тогда

Откуда

Расчет с точностью до

Мы знаем, что . С этой позиции расчет -го члена последовательности можно принимать за "измерение" числа .

Найдем абсолютную погрешность нашего "измерения":

Воспользуемся свойством модуля (см. прото-задачу П.1):

Но , как мы уже показали выше, всегда строго больше поэтому можно убрать знак модуля:

Но по выведенной выше формуле имеем

Нам нужно рассчитать число с точностью до , это значит, что наша абсолютная погрешность должна быть не больше этого числа.

Мы доказали, что , поэтому можно усилить неравенство:

Методом подбора получаем, что уже при

Рассчитаем тогда :

Итак, число

является числом с точностью до .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Свойства модуля
Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.
Предельный переход в неравенстве
Сохранение знака неравенства при переходе к пределам.
Второй замечательный предел (последовательность)
Вывод второго замечательного предела для последовательностей через бином Ньютона.