Зная, что
доказать, что
Вывести отсюда формулу
где , и вычислить число с точностью до .
Зная, что
доказать, что
Вывести отсюда формулу
где , и вычислить число с точностью до .
Введем обозначение:
Докажем, что
В прото-задаче П.24 в процессе рассуждений мы получили следующее равенство:
где
Составим неравенство, убрав из все слагаемые после :
Заметим, что количество слагаемых справа конечно.
Возьмем предел обеих частей по прото-задаче П.20:
Найдем теперь предел
Тогда
Важно отметить, что мы зафиксировали . Но можно фиксировать и , и так далее, отодвигая при необходимости в . Другими словами, для любого выполняется неравенство:
На самом деле, выполняется и более строгий вариант:
Действительно, справа стоит последовательность. Ее следующей член получается добавлением нового слагаемого , поэтому общая сумма только увеличится, то есть это строго возрастающая последовательность. Если бы какой-то член этой последовательности оказался бы равен , то уже со следующего члена последовательность будет уже строго больше . Получили противоречие. Значит, выполняется строгое неравенство.
Итак,
В прото-задачи П.24 в процессе рассуждений мы получили следующее неравенство:
Но в лемме выше мы показали, что
Объединяем в одно цепное неравенство:
Последовательность слева по определению сходится к . "Последовательность" из справа тоже сходится к . А значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность тоже сходится к :
Введем обозначение:
Рассмотрим разницу:
Отсюда очевидно, что .
Вынесем за скобки дробь :
В больших скобках справа в знаменателях можно заменить все скобки на :
В скобках имеем сумму членов геометрической прогрессии. Воспользуемся свойством, что если знаменатель , то
Пусть . Докажем, что
Для суммы слева воспользуемся суммой членой геометрической прогрессии:
Получим неравенство, заменив на :
Применяем это свойство:
Итак, имеем следующее цепное неравенство:
Считаем, что — фиксированное число и по прото-задаче П.20 находим предел при всех частей неравенства:
Здесь мы воспользовались тем, что , так как — подпоследовательность последовательности (помним, что — фиксированное число), а значит, по прото-задаче П.19 раз , то и любая ее подпоследовательность тоже стремится к , то есть .
Итак:
Докажем, что
В лемме мы показали, что , поэтому :
Число по середине будем называть :
Так как
Тогда
Откуда
Мы знаем, что . С этой позиции расчет -го члена последовательности можно принимать за "измерение" числа .
Найдем абсолютную погрешность нашего "измерения":
Воспользуемся свойством модуля (см. прото-задачу П.1):
Но , как мы уже показали выше, всегда строго больше поэтому можно убрать знак модуля:
Но по выведенной выше формуле имеем
Нам нужно рассчитать число с точностью до , это значит, что наша абсолютная погрешность должна быть не больше этого числа.
Мы доказали, что , поэтому можно усилить неравенство:
Методом подбора получаем, что уже при
Рассчитаем тогда :
Итак, число
является числом с точностью до .