Введем обозначение:

$$x_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$$

Лемма

Докажем, что

$$e>2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots +\frac{1}{n!}$$

В прото-задаче П.24 в процессе рассуждений мы получили следующее равенство:

$$x_n=2+s_2+s_3+\dots +s_k+\dots +s_n,$$

где

$$s_k=\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\dots \left(1-\frac{k-1}{n}\right)$$

Составим неравенство, убрав из $x_n$ все слагаемые после $s_k$:

$$x_n>2+s_2+s_3+\dots +s_k$$

Заметим, что количество слагаемых справа конечно.

Возьмем предел обеих частей по прото-задаче П.20:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n\ge \underset{n\to \infty }{\lim }(2+s_2+\dots +s_k)$$

$$e\ge 2+\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_2+\dots +\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_k$$

Найдем теперь предел

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{s}_k=\frac{1}{k!}\left(1-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\right)\dots \left(1-(k-1)\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\right)= \\ =\frac{1}{k!}(1-0)(1-0)\dots (1-0)=\frac{1}{k!} \end{gathered}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_k=\frac{1}{k!}$$

Тогда

$$e\ge 2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots +\frac{1}{k!}$$

Важно отметить, что мы зафиксировали $k$. Но можно фиксировать и $k+1$, $k+2$ и так далее, отодвигая при необходимости $n$ в $x_n$. Другими словами, для любого $n$ выполняется неравенство:

$$e\ge 2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots +\frac{1}{n!}$$

На самом деле, выполняется и более строгий вариант:

$$e>2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots +\frac{1}{n!}$$

Действительно, справа стоит последовательность. Ее следующей член получается добавлением нового слагаемого $\frac{1}{(n+1)!}$, поэтому общая сумма только увеличится, то есть это строго возрастающая последовательность. Если бы какой-то член этой последовательности оказался бы равен $e$, то уже со следующего члена последовательность будет уже строго больше $e$. Получили противоречие. Значит, выполняется строгое неравенство.

Итак,

$$e>2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots +\frac{1}{n!}$$

Доказательство сходимости

В прото-задачи П.24 в процессе рассуждений мы получили следующее неравенство:

$$x_n<2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots +\frac{1}{n!}$$

Но в лемме выше мы показали, что

$$2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots +\frac{1}{n!}\le e$$

Объединяем в одно цепное неравенство:

$$x_n<2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots +\frac{1}{n!}\le e$$

Последовательность $x_n$ слева по определению сходится к $e$. "Последовательность" из $e$ справа тоже сходится к $e$. А значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность тоже сходится к $e$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots +\frac{1}{n!}\right)=e$$

$■$

Вывод формулы

Введем обозначение:

$$y_n=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots +\frac{1}{n!}$$

Рассмотрим разницу:

$$y_{n+p}-y_n,(p>0)$$

$$\begin{gathered} y_{n+p}-y_n=2+\frac{1}{2!}+\dots +1(n+p)!-2-\frac{1}{2!}-\dots -\frac{1}{n!}= \\ =\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\dots +\frac{1}{(n+p)!} \end{gathered}$$

$$y_{n+p}-y_n=\frac{1}{(n+1)!}+\dots +\frac{1}{(n+p)!}$$

Отсюда очевидно, что $y_{n+p}-y_n>0$.

Вынесем за скобки дробь $\frac{1}{(n+1)!}$:

$$y_{n+p}-y_n=\frac{1}{(n+1)!}\left(1+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}+\dots \right)$$

В больших скобках справа в знаменателях можно заменить все скобки $(n+i)$ на $(n+2)$:

$$y_{n+p}-y_n\le \frac{1}{(n+1)!}\left(1+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2{)}^2}+\dots \right)$$

В скобках имеем сумму $p$ членов геометрической прогрессии. Воспользуемся свойством, что если знаменатель $0<q<1$, то

$$1+q+q^2+\dots +q^n<\frac{1}{1-q}(q<1)$$

Применяем это свойство:

$$y_{n+p}-y_n<\frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{1-\frac{1}{n+2}}$$

$$y_{n+p}-y_n<\frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{1-\frac{1}{n+2}}\frac{n+2}{n+2}$$

$$y_{n+p}-y_n<\frac{1}{(n+1)!}\frac{n+2}{n+1}$$

$$y_{n+p}-y_n<\frac{1}{n!}\frac{n+2}{(n+1{)}^2}$$

Итак, имеем следующее цепное неравенство:

$$0<y_{n+p}-y_n<\frac{1}{n!}\frac{n+2}{(n+1{)}^2}$$

Считаем, что $n$ — фиксированное число и по прото-задаче П.20 находим предел при $p\to \infty$ всех частей неравенства:

$$0\le \underset{p\to \infty }{\lim }(y_{n+p}-y_n)\le \underset{p\to \infty }{\lim }\frac{1}{n!}\frac{n+2}{(n+1{)}^2}$$

$$0\le \underset{=e}{\underbrace{\underset{p\to \infty }{\lim }(y_{n+p})}}-y_n\le \frac{1}{n!}\frac{n+2}{(n+1{)}^2}$$

Здесь мы воспользовались тем, что $y_{n+p}\to e$, так как $y_{n+p}$ — подпоследовательность последовательности $y_p$ (помним, что $n$ — фиксированное число), а значит, по прото-задаче П.19 раз $y_p\to e$, то и любая ее подпоследовательность тоже стремится к $e$, то есть $y_{n+p}\to e$.

Итак:

$$0\le e-y_n\le \frac{1}{n!}\frac{n+2}{(n+1{)}^2}$$

$$0\le e-y_n\le \frac{1}{n!}\frac{n+2}{(n+1{)}^2}<\frac{1}{n!}\frac{1}{n}$$

$$0\le e-y_n<\frac{1}{n!n}$$

В лемме мы показали, что $e>y_n$, поэтому $e-y_n>0$:

$$0<e-y_n<\frac{1}{n!n}$$

$$0<(e-y_n)n!n<1$$

Число по середине будем называть ${\Theta }_n$:

$$0<{\Theta }_n=(e-y_n)n!n<1$$

$$0<{\Theta }_n<1$$

Так как

$${\Theta }_n=(e-y_n)n!n$$

Тогда

$$e-y_n=\frac{{\Theta }_n}{n!n}$$

Откуда

$$e=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots +\frac{1}{n!}+\frac{{\Theta }_n}{n!n}$$

$■$

Расчет $e$ с точностью до $10^{-5}$

Мы знаем, что $y_n\to e$. С этой позиции расчет $n$-го члена последовательности $y_n$ можно принимать за "измерение" числа $e$.

Найдем абсолютную погрешность нашего "измерения":

$$\Delta =|y_n-e|$$

Воспользуемся свойством модуля (см. прото-задачу П.1):

$$\Delta =|y_n-e|=|e-y_n|$$

Но $e-y_n$, как мы уже показали выше, всегда строго больше $0$ поэтому можно убрать знак модуля:

$$\Delta =e-y_n$$

Но по выведенной выше формуле имеем

$$\Delta =e-y_n=\frac{{\Theta }_n}{n!n}$$

$$\Delta =\frac{{\Theta }_n}{n!n}$$

Нам нужно рассчитать число $e$ с точностью до $10^{-5}$, это значит, что наша абсолютная погрешность должна быть не больше этого числа.

$$\Delta =\frac{{\Theta }_n}{n!n}\le 10^{-5}$$

$$\frac{{\Theta }_n}{n!n}\le 10^{-5}$$

Мы доказали, что $0<{\Theta }_n<1$, поэтому можно усилить неравенство:

$$\frac{{\Theta }_n}{n!n}<\frac{1}{n!n}\le 10^{-5}$$

$$\frac{1}{n!n}\le 10^{-5}$$

$$n!n\ge 10^5$$

Методом подбора получаем, что уже при $n=8$

$$8!8=322560>10^5$$

Рассчитаем тогда $y_8$:

$$y_8=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots +\frac{1}{8!}=\frac{109601}{40320}$$

Итак, число

$$\frac{109601}{40320}=2.71827\dots$$

является числом $e$ с точностью до $10^{-5}$.