Демидович
90

Доказать, что монотонная последовательность будет сходящейся, если сходится некоторая ее подпоследовательность.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Обозначим исходную монотонную последовательность за . Будем считать, что она монотонно возрастает (для убывания доказательство аналогичное).

Есть два варианта: может быть ограничена, а может и нет. Если она ограничена, то по признаку Вейерштрасса (любая монотонная и ограниченная последовательность сходится) это сразу означает, что сходится.


Предположим, что не ограничена. По определению это означает, что

Но так как монотонно возрастает, то и все остальные остальные члены последовательности тоже больше :

Итак, для любого найдется такое , что для любого будет выполняться неравенство . По определению это означает, что

Из условия нам известно, у есть некоторая сходящаяся подпоследовательность . Распишем, что это значит по определению:

Неравенство в конце раскроем по пункту 1 прото-задачи П.5:

Рассмотрим верхнее первое неравенство справа:

Итак, для любого будет выполняться неравенство . В тоже время, для числа найдется такое , что для любого будет выполняться неравенство

Так как (последовательность индексов у ) по определению является возрастающей подпоследовательностью натуральных чисел, то, рано или поздно, найдется такое , что одновременно и , и .

Получаем два противоречащих друг другу неравенства:

Раз получили противоречие, значит наше предположение о том, что не ограничена было неверным.

Итак, монотонная в которой есть сходящаяся подпоследовательность всегда ограничена. Но любая монотонная и ограниченная последовательность сходится. Значит, сходится.

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Упрощение модулей в неравенствах
Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.