Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Т

Предел геометрической прогрессии

Сходимость к нулю убывающих и к бесконечности возрастающих геометрических прогрессий.

Пусть нам дана геометрическая прогрессия ():

Сходимость геометрической прогрессии

Если , то:

Доказательство

Покажем, что . По определению:

Рассмотрим неравенство в конце:

Вынесем степень за знаки модуля (см. прото-задачу П-ссылка):

Прологарифмируем это неравенство по основанию . Так как основание , то знак неравенства меняется на противоположный:

Какое бы мы не взяли, нам достаточно взять любое число, большее и тогда требуемое по определению предела неравенство будет выполняться.

Но нам нужно не любое число, а натуральное, поэтому выбирать будем по следующей формуле:

Докажем, что такое будет подходить определению доказываемого предела.

По этой формуле мы берем , если логарифм окажется отрицательным:

Если логарифм окажется положительным, то получаем его округление сверху («потолок»). Из определения «потолка» числа:

Следующее натуральное число после будет , поэтому

Итак, мы показали, что любые натуральные подходят определению доказываемого предела.

Значит мы доказали по определению, что:

Теперь вернемся к исходному пределу:

Выносим константу из предела:

Расходимость геометрической прогрессии

Если и , то:

Доказательство

Представим в следующем виде:

Раз , то . Но выше мы уже доказали, что геометрическая прогрессия со знаменателем, меньшим , сходится к , поэтому

Итак, последовательность — бесконечно малая. Но тогда обратная ей последовательность — бесконечно большая (см. прото-задачу П-ссылка), поэтому:

Теперь вернемся к исходному пределу:

Выносим константу из предела:

Зависимые задачи