Предел геометрической прогрессии

Покажем, что $q^n\to 0$. По определению:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{q}^n=0\iff \forall \epsilon >0\exists N=N(\epsilon )\forall n>N:|q^n|<\epsilon$$

Рассмотрим неравенство в конце:

$$|q^n|<\epsilon$$

Вынесем степень $n$ за знаки модуля (см. прото-задачу П-ссылка):

$$\begin{gathered} |q^n|=|q{|}^n<\epsilon \\ |q{|}^n<\epsilon \end{gathered}$$

Прологарифмируем это неравенство по основанию $|q|$. Так как основание $0<|q|<1$, то знак неравенства меняется на противоположный:

$$n>{\log }_{|q|}\epsilon$$

Какое бы $\epsilon >0$ мы не взяли, нам достаточно взять любое число, большее ${\log }_{|q|}\epsilon$ и тогда требуемое по определению предела неравенство будет выполняться.

Но нам нужно не любое число, а натуральное, поэтому выбирать $N$ будем по следующей формуле:

$$N(\epsilon )=\max \left(1,\lceil {\log }_{|q|}\epsilon \rceil \right)$$

Докажем, что такое $N$ будет подходить определению доказываемого предела.

По этой формуле мы берем $N(\epsilon )=1$, если логарифм окажется отрицательным:

$$\begin{gathered} n>N=1>0>{\log }_{|q|}\epsilon \\ n>{\log }_{|q|}\epsilon \end{gathered}$$

Если логарифм окажется положительным, то получаем его округление сверху («потолок»). Из определения «потолка» числа:

$$\lceil {\log }_{|q|}\epsilon \rceil \ge {\log }_{|q|}\epsilon$$

Следующее натуральное число после $N(\epsilon )$ будет $N(\epsilon )+1$, поэтому

$$\begin{gathered} n\ge N(\epsilon )+1>N(\epsilon )=\lceil {\log }_{|q|}\epsilon \rceil \ge {\log }_{|q|}\epsilon \\ n>{\log }_{|q|}\epsilon \end{gathered}$$

Итак, мы показали, что любые натуральные $n>N(\epsilon )$ подходят определению доказываемого предела.

Значит мы доказали по определению, что:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{q}^n=0$$

Теперь вернемся к исходному пределу:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }C\cdot q^n=0$$

Выносим константу $C$ из предела:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }C\cdot q^n=C\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }{q}^n=C\cdot 0=0$$

$■$