Демидович
132

Пусть и . Доказать, что:

Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Замечание

По определению частичного предела он может быть как конечным, так и бесконечным. В этой задаче все частичные пределы в неравенствах в условии предполагаются конечными.

В противном случае можно рассмотреть последовательности . Эти последовательности, а значит и любые их подпоследовательности стремятся к . Это приводит к вот такому бессмысленному неравенству, так как бесконечности не являются в полной мере числами и их "нельзя" складывать и сравнивать в обычном смысле:

Поэтому далее мы считаем, что речь в задании идет о конечных наибольших/наименьших частичных пределах.

Доказательство а)

Доказательство первой части неравенства

По условию

Это означает, что существует некоторая подпоследовательность такая, что

В условии фигурируют наибольший и наименьший частичные пределы . Это означает, что ограничена, потому что если она не ограничена, то, согласно задаче 126, в ней можно выделить подпоследовательность , а это значит, что . Тут получаем противоречие с замечанием выше, согласно которому мы считаем, что приведенные в условии частичные пределы конечные. Раз ограничена, то и ограничена.

Аналогично рассуждая, получаем, что , как и ограничена.

Итак, последовательности и ограничены.

Раз ограничена, то, по задаче 125 в ней можно выделить сходящуюся подпоследовательность , в которой номера берутся из номеров .

Из этих же номеров рассмотрим последовательность . Это подпоследовательность , а значит и ограничена. Раз ограничена, то по задаче 125 в ней можно выделить сходящуюся подпоследовательность , в которой номера берутся из номеров .

Из этих же номеров рассмотрим последовательность . Это подпоследовательность , а значит, по прото-задаче П.19 имеет такой же предел, что и :

Итак, получили две сходящиеся последовательности и , состоящие из одинаковых номеров. Раз номера одинаковые, то последовательность является подпоследовательностью сходящейся последовательности , а значит

— сходящаяся подпоследовательность , а значит, по определению наименьшего частичного предела:

Аналогично для :

Умножим друг на друга эти неравенства:

Мы доказали первую половину неравенства.

Доказательство второй части неравенства

По прото-задаче П.23:

Тогда, согласно уже доказанной первой части неравенства выполняется

Поделим обе части на :

Мы доказали вторую половину неравенства.

Итак, доказали, что

Доказательство б)

Воспользуемся уже доказанным неравенством в пункте а):

"Перевернем" все части неравенства:

Применяем прото-задачу П.23 для каждого множителя:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!