Демидович
139

Доказать, что если

то

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

По аналогии с предыдущей задачей 138 введем обозначение для последовательности средних геометрических:

Итак, нам известно, что

Распишем это по определению:

Будем рассматривать какое-то . Тогда тоже положительное и для него существует такое , что для любого :

Рассмотрим теперь для тех же :

Разделим эту дробь на две:

Рассмотрим дробь справа:

Для каждого слагаемого в числителе выполняется неравенство , поэтому можно заменить все эти слагаемые на :

Итак:

Найдем предел последовательности в скобках справа (принимая во внимание, что — константа):

Мы воспользовались тем, что (см. прото-задачу П.10).

Мы показали, что

По определению это значает, что

Раз выполняется для любого положительного , то выполняется и для . Итак, для существует такое , что для любого выполняется неравенство:

Упростим это неравенство с модулем по пункту 1 прото-задачи П.5:

Рассмотрим нижнее неравенство справа:

Прибавим к обеим частям :

Возвращаемся к нашему неравенству с :

Стоит заметить, что здесь речь уже идет о , чтобы выполнялись сразу оба неравенства из определений для и .

Рассмотрим теперь дробь

Найдем предел этой последовательности (принимая во внимание, что — константа):

По определению это означает, что

Раз выполняется для любого положительного , то и для числа найдется такое , что для любого будет выполняться неравенство

Упростим это неравенство с модулем по пункту 1 прото-задачи П.5:

Рассмотрим нижнее неравенство справа:

Прибавим к обеим частям :

Итак,

Стоит заметить, что здесь речь уже идет о , чтобы выполнялись все три неравенства из определений для , и .

Мы показали, что какое бы положительное число мы не взяли, всегда найдутся три таких , что для любого будет выполняться неравенство:

Это по определению означает, что

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Упрощение модулей в неравенствах
Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.