Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 139
Нормальная

Доказать, что если

то

Зависимость
Решение

По аналогии с предыдущей задачей 138 введем обозначение для последовательности средних геометрических:

Итак, нам известно, что

Распишем это по определению:

Будем рассматривать какое-то . Тогда тоже положительное и для него существует такое , что для любого :

Рассмотрим теперь для тех же :

Разделим эту дробь на две:

Рассмотрим дробь справа:

Для каждого слагаемого в числителе выполняется неравенство , поэтому можно заменить все эти слагаемые на :

Итак:

Найдем предел последовательности в скобках справа (принимая во внимание, что — константа):

Мы воспользовались тем, что (см. прото-задачу П-ссылка).

Мы показали, что

По определению это значает, что

Раз выполняется для любого положительного , то выполняется и для . Итак, для существует такое , что для любого выполняется неравенство:

Упростим это неравенство с модулем по пункту 1 прото-задачи П-ссылка:

Рассмотрим нижнее неравенство справа:

Прибавим к обеим частям :

Возвращаемся к нашему неравенству с :

Стоит заметить, что здесь речь уже идет о , чтобы выполнялись сразу оба неравенства из определений для и .

Рассмотрим теперь дробь

Найдем предел этой последовательности (принимая во внимание, что — константа):

По определению это означает, что

Раз выполняется для любого положительного , то и для числа найдется такое , что для любого будет выполняться неравенство

Упростим это неравенство с модулем по пункту 1 прото-задачи П-ссылка:

Рассмотрим нижнее неравенство справа:

Прибавим к обеим частям :

Итак,

Стоит заметить, что здесь речь уже идет о , чтобы выполнялись все три неравенства из определений для , и .

Мы показали, что какое бы положительное число мы не взяли, всегда найдутся три таких , что для любого будет выполняться неравенство:

Это по определению означает, что