Найдем, чему равна разность котангенсов в числителе, используя формулу синуса разности углов (см. указание):

$$\begin{gathered} \mathrm{ctg}x-\mathrm{ctg}a=\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\cos a}{\sin a}=-\frac{\sin x\cos a-\sin a\cos x}{\sin x\sin a}= \\ =-\frac{\sin \left(x-a\right)}{\sin x\sin a} \end{gathered}$$

В числителе воспользуемся полученной выше формулой разности котангенсов, а также теоремой о пределе сложной функции (П-ссылка), первым замечательным пределом (П-ссылка) и непрерывностью синуса (П-ссылка).

$$\begin{gathered} \underset{x\to a}{\lim }\frac{\mathrm{ctg}x-\mathrm{ctg}a}{x-a}=\underset{x\to a}{\lim }-\frac{\sin (x-a)}{x-a}\cdot \frac{1}{\sin x\sin a}= \\ =\left|\begin{array}{c}y=x-a\\ \underset{x\to a}{\lim }y(x)=\underset{x\to a}{\lim }x-a=a-a=0\\ y\to 0\end{array}\right|= \\ =-\underset{y\to 0}{\lim }\frac{\sin y}{y}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sin x\sin a}=-\frac{1}{{\sin }^{2}a}=-{\mathrm{cosec}}^{2}a \end{gathered}$$

Не забываем, что $a$ в этой задаче не может принимать значения, при которых синус в знаменателе котангенса и косеканса равен $0$, а именно:

$$a\ne k\pi k\in \mathbb{Z}$$