Демидович
54

Предполагая, что пробегает натуральный ряд чисел, определить значения следующих выражений:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Объедините все слагаемые вместе и для числителя составьте общую формулу с помощью формул из задач 1 и 2.

Решение

Выясним сначала, чему равна сумма в числителе:

Это сумма квадратов нечетных натуральных чисел. Каждый элемент этой суммы определяется следующей формулой:

Воспользуемся формулой квадрата разности:

Распишем сумму по этой формуле:

Перегруппируем члены этой суммы:

В первой скобке у нас сумма квадратов натуральных чисел. Формула этой суммы доказывается в задаче 2. Во второй скобке просто сумма натуральных чисел. Формула этой суммы доказывается в задаче 1. В третьей скобке просто складывается друг с другом единиц.

Итак:


Теперь приступим к нахождению значения предела из условия. Для начала, объединим все дроби в одну большую:

Заменим сумму под модулем в числителе на найденное ранее выражение:

Разобьем эту большую дробь:

Находим предел:

Выше мы использовали тот факт, что последовательность , так как она является частым случаем последовательности (см. прото-задачу П.10).

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.