Демидович
68

Доказать, что

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Воспользуйтесь неравенством из задачи 9, чтобы ограничить сверху последовательность из условия.

Докажите еще одно усиление:

Решение

Справедливо следующее неравенство:

Его доказательство по методу математической индукции приводится в пункте б) задачи 9.


"Зажмем" нашу последовательность:

Докажем следующее неравенство:

"Переворачиваем" дроби и возводим в квадрат обе части (перевернуть можно, так как тут все больше 0):

Итак, мы показали, что

Используем это для усиления цепного неравенства выше:

Найдем предел дроби в правой части цепного неравенства:

Мы использовали то, что , так как это частный случай последовательности , которая стремится к (см. прото-задачу П.10).

Итак, вернемся с нашей "зажатой" последовательности:

Слева "последовательность" стремится к . Последовательность справа, как мы только что показали, тоже стремится к 0. Значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность тоже стремится к :

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.