Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 68
Нормальная

Доказать, что

Зависимость
Указание

Воспользуйтесь неравенством из задачи 9, чтобы ограничить сверху последовательность из условия.

Докажите еще одно усиление:

Решение

Справедливо следующее неравенство:

Его доказательство по методу математической индукции приводится в пункте б) задачи 9.


«Зажмем» нашу последовательность:

Докажем следующее неравенство:

«Переворачиваем» дроби и возводим в квадрат обе части (перевернуть можно, так как тут все больше 0):

Итак, мы показали, что

Используем это для усиления цепного неравенства выше:

Найдем предел дроби в правой части цепного неравенства:

Мы использовали то, что , так как это частный случай последовательности , которая стремится к (см. прото-задачу П-ссылка).

Итак, вернемся с нашей «зажатой» последовательности:

Слева «последовательность» стремится к . Последовательность справа, как мы только что показали, тоже стремится к 0. Значит, по теореме о двух милиционерах, «зажатая» между ними последовательность тоже стремится к :