Доказать, что
Доказать, что
Воспользуйтесь неравенством из задачи 9, чтобы ограничить сверху последовательность из условия.
Докажите еще одно усиление:
Справедливо следующее неравенство:
Его доказательство по методу математической индукции приводится в пункте б) задачи 9.
"Зажмем" нашу последовательность:
Докажем следующее неравенство:
"Переворачиваем" дроби и возводим в квадрат обе части (перевернуть можно, так как тут все больше 0):
Итак, мы показали, что
Используем это для усиления цепного неравенства выше:
Найдем предел дроби в правой части цепного неравенства:
Мы использовали то, что , так как это частный случай последовательности , которая стремится к (см. прото-задачу П.10).
Итак, вернемся с нашей "зажатой" последовательности:
Слева "последовательность" стремится к . Последовательность справа, как мы только что показали, тоже стремится к 0. Значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность тоже стремится к :