Демидович
10

Доказать неравенства:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Все пункты задачи доказываются по методу математической индукции.

Пункт а)

В индукционном переходе прибавить к обеим частям неравенства .

Доказать, что

Пункт б)

В индукционном переходе домножить правую часть неравенства на .

Для скобки в числителе воспользоваться индукционным предположением.

Доказать верность следующего усиления:

Пункт в)

Перейти к доказательству формулы для (переменная занята).

В левой части воспользоваться формулой синуса суммы двух углов.

Воспользоваться свойствами модуля из прото-задачи П.1.

Пункт г)

В индукционном переходе домножить обе части неравенства на .

Преобразовать правую часть и доказать верность следующего усиления:

Решение

Пункт а)

Докажем по методу математической индукции.

База индукции: в качестве базы возьмем , так как по условию :

Индукционный переход:

Пусть неравенство выполняется для некоторого натурального :

Прибавим к обеим частям :

Теперь надо лишь доказать, что

Избавимся от корня в знаменателе дроби слева:

Возводим в квадрат обе части:

Вычитаем из обеих частей и домножаем их на :

Вычитаем из обеих частей и снова возводим в квадрат:

Последнее выполняется, так как по условию . Итак, мы доказали неравенство:

Теперь применим полученный результат для усиления неравенства для :

Мы доказали индукционный переход. Это означает, что доказываемое выполняется для всех натуральных .

Пункт б)

Докажем по методу математической индукции.

База индукции: в качестве базы возьмем , так как по условию :

Индукционный переход:

Предположим, неравенство выполняется для некоторого натурального :

Докажем, что оно выполняется и для :

Правую часть домножим на дробь :

Воспользуемся предположением индукции, которое мы сделали выше:

Получили цепное неравенство:

Другими словами, для доказательства индукционного перехода надо показать, что полученная нами дробь действительно меньше .

Докажем это постепенным упрощением обеих частей. Сначала домножим обе части на :

В левой части вынесем двойку из показателя:

Из обеих частей возьмем корень степени. Корень можно взять, так как оба выражения положительные:

Итак, мы доказали цепное неравенство:

Индукционный переход доказан. Это означает, что доказываемое неравенство выполняется для всех натуральных .

Пункт в)

Докажем по методу математической индукции. В этом пункте мы будем пользоваться несколькими свойствами модуля (см. прото-задачу П.1).

База индукции: при получаем

Знак модуля мы сняли, так как по условию , то есть отрицательным синус получиться не может.

Индукционный переход:

Предположим, неравенство выполняется для некоторого натурального :

Докажем, что оно выполняется и для :

Будем работать с левой частью:

Воспольуемся формулой синуса суммы двух углов:

Воспользуемся свойством модуля :

Применим еще одно свойство модуля :

Теперь надо избавиться от двух множителей с косинусами:

Так как мы берем их модуль, то их значение всегда между и :

Поэтому, для получения наибольшего значения можно просто вместо них взять :

Модуль у слагаемого можно убрать, так как по условию . Ко второму слагаемому можно применить неравенство по предположению индукции:

Но

Поэтому

Итак, все это время мы преобразовывали левую часть неравенства, поэтому

Индукционный переход доказан. Это означает, что доказываемое неравенство выполняется для всех натуральных .

Пункт г)

Докажем по методу математической индукции.

База индукции: при получаем

Индукционный переход:

Предположим, неравенство выполняется для некоторого натурального :

Докажем, что оно выполняется и для . Домножим обе части на положительное :

Правую часть неравенства, с учетом новой скобки, можно записать так:

Подставим результат обратно в неравенство:

Докажем, что

Мы доказали, что

Теперь применим полученный результат для усиления неравенства для :

Но

Поэтому в итоге получаем

Индукционный переход доказан. Это означает, что доказываемое неравенство выполняется для всех натуральных .

Указание

Пункт б)

Доказывать надо по методу математической индукции.

В неравенстве для при индукционном переходе путем преобразований в правой части получить выражение, стремящееся к числу :

Воспользоваться тем, что выражение выше строго ограничено сверху числом (прото-задача П.24) или (задача 69).

Решение

Пункт б)

Докажем по методу математической индукции.

База индукции: в качестве базы возьмем , так как по условию :

Индукционный переход:

Предположим, неравенство выполняется для некоторого натурального :

Докажем, что оно выполняется и для :

Запишем это неравенство в другом виде:

Разделим обе части неравенства на :

Преобразуем дробь в скобках в правой части:

Выражение в правой части при увеличении будет стремиться к числу (см. задачу 69 или прото-задачу П.24).

В прото-задаче П.24 мы доказали ограничение сверху на выражение:

Но по условию доказываемого неравенства , поэтому в худшем случае при имеем:

Индукционный переход доказан. Это означает, что доказываемое неравенство выполняется для всех натуральных .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Свойства модуля
Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.
Второй замечательный предел (последовательность)
Вывод второго замечательного предела для последовательностей через бином Ньютона.