Свойства подпоследовательностей

Доказать, что из ограниченной последовательности $x_n(n=1,2,\dots )$ всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность $x_{p_n}(n=1,2,\dots )$.

Доказать, что если последовательность $x_n(n=1,2,\dots )$ не ограничена, то существует подпоследовательность $x_{p_n}$ такая, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{p_n}=\infty$$

Пусть последовательность $x_n(n=1,2,\dots )$ сходится, а последовательность $y_n(n=1,2,\dots )$ расходится. Что можно утверждать о сходимости последовательностей:

$$\text{а) }{x}_n+y_n;\text{б) }{x}_n{y}_n$$

Привести соответствующие примеры.

Пусть последовательности $x_n$ и $y_n(n=1,2,\dots )$ расходятся. Можно ли утверждать, что последовательности:

$$\text{а) }{x}_n+y_n;\text{б) }{x}_n{y}_n$$

также расходятся?

Пусть $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0$, и $y_n(n=1,2,\dots )$ — произвольная последовательность. Можно ли утверждать, что $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n{y}_n=0$? Привести соответствующие примеры.

Пусть

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n{y}_n=0.$$

Следует ли отсюда, что либо $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0$, либо $\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=0$?

Рассмотреть пример: $x_n=\frac{1+(-1{)}^n}{2}$, $y_n=\frac{1-(-1{)}^n}{2}(n=1,2,\dots )$.

Доказать, что:

$$\text{а) }\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n+\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n\le \underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n+y_n)\le \underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n+\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n;$$

$$\text{б) }\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n+\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n\le \overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n+y_n)\le \overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n+\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n$$

Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.

Пусть $x_n\ge 0$ и $y_n\ge 0(n=1,2,\dots )$. Доказать, что:

$$\text{а) }\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n\cdot \underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n\le \underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n{y}_n)\le \underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n\cdot \overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n;$$

$$\text{б) }\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n\cdot \overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n\le \overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n{y}_n)\le \overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n\cdot \overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n$$

Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.

Доказать, что если $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$ существует, то какова бы ни была последовательность $y_n(n=1,2,\dots )$, имеем:

$$\begin{gathered} \text{а) }\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n+y_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n+\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n; \\ \text{б) }\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n{y}_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n\cdot \overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n(x_n\ge 0). \end{gathered}$$

Доказать, что если для некоторой последовательности $x_n(n=1,2,\dots )$, какова бы ни была последовательность $y_n(n=1,2,\dots )$, имеет место по меньшей мере одно из равенств:

$$\text{а) }\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n+y_n)=\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n+\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n$$

или

$$\text{б) }\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n{y}_n)=\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n\cdot \overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n(x_n\ge 0),$$

то последовательность $x_n$ — сходящаяся.

Доказать, что если $x_n>0(n=1,2,\dots )$ и

$$\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n\cdot \overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}\frac{1}{x_n}=1,$$

то последовательность $x_n$ — сходящаяся.

Доказать, что если последовательность $x_n(n=1,2,\dots )$ ограничена и

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(x_{n+1}-x_n)=0,$$

то частичные пределы этой последовательности расположены всюду плотно между ее нижним и верхним пределами:

$$l=\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n\text{ и }L=\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n$$

т.е. любое число из отрезка $[l,L]$ является частичным пределом данной последовательности.

Пусть числовая последовательность $x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots$ удовлетворяет условию

$$0\le x_{m+n}\le x_m+x_n(m,n=1,2,\dots )$$

Доказать, что $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{n}$ существует.