Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Т

Единственность предельной точки

Теорема

Если

то любая подпоследовательность сходится к , то есть — единственная предельная точка .

Доказательство

Нам известно, что существует предел

По определению предела это означает, что

Итак, для любого положительного найдется такой номер , после которого все члены последовательности удовлетворяют неравенству .

Рассмотрим произвольную подпоследовательность . После номера лежит бесконечно много элементов этой подпоследовательности. Так как элементы подпоследовательности являются какими-то элементами исходной последовательности, то каждый элемент при тоже удовлетворяет неравенству .

Итак

А это по определению означает, что

Мы доказали, что если существует предел исходной последовательности , равный , то и любая ее подпоследовательность сходится к . Это также означает, что других предельных точек у не может быть, то есть — единственная предельная точка .

Теорема

Если — единственная предельная точка последовательности , то

Доказательство

Нам известно, что — единственная предельная точка , причем .

Ограниченность

Докажем, что ограничена. Пусть это не так и неограниченная. Тогда, согласно задаче 126, в ней можно выделить подпоследовательность такую, что

Но тогда

Получили противоречие, так как — конечное число.

Итак, мы доказали, что ограничена.

Докажем, что

Докажем от противного. Пусть предел не равен , запишем отрицание определения предела:

Пусть , тогда найдется такое , что .

Пусть , тогда найдется такое , что .

Процесс можно продолжать бесконечно.

Итак, получили подпоследовательность вида

причем для каждого члена выполняется неравенство .

Так как — подпоследовательность , а и ограничена, то и тоже ограничена. Раз ограничена, то, по задаче 125 в ней можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Так как по условию — единственная предельная точка, то

По определению это означает, что

Раз выполняется для любого , то выполняется и для . То есть, для существует такой номер , после которого все члены подпоследовательности удовлетворяют неравенству

Но любой член является каким-то членом , а никакой член не удовлетворяет этому неравенству!

Получили противоречие:

Это означает, что наши рассуждения от противного о том, что предел не равен привели к противоречию. Значит

Зависимые задачи