Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
М

Упрощение модулей в неравенствах

Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.
Теорема

Или, что тоже самое

Доказательство

Рассмотрим, каким может быть :

Если , то и мы сразу получаем

Умножим обе части на :

Итак, из получаем цепное неравенство

Если , то и мы получаем

Умножаем обе части на :

Так как , то , поэтому

Итак, вне зависимости от мы получаем цепное неравенство:

Его можно перезаписать в виде

Теорема

Доказательство

Рассмотрим, каким может быть :

Если , то и мы сразу получаем

Если , то и мы получаем

Умножаем обе части на :

Итак, в зависимости от имеем два возможных варианта:

Запишем в более привычной форме:

Теорема

Доказательство

Возводим обе части в квадрат:

Но мы знаем, что и (см. прото-задачу П-ссылка), поэтому можно «избавиться» от модулей. Получаем следующее неравенство:

Итак, мы показали, что