Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению

Откройте "Открытую Математику"!

Понятная теория, конспекты и задачник в одном флаконе!

Заглянуть
Посмотреть все темы!
Т

Непрерывность тригонометрических функций

Доказательство непрерывности тригонометрических функций (включая обратные) на всей своей области определения.
Теорема

Тригонометрические функции (, , и ) непрерывны на всей своей области определения.

Обратные тригонометрические функции (, , и ) тоже непрерывны на всей своей области определения.

Д

оказывать непрерывность будем с помощью предела приращений переменной, приведенного в прото-задаче П-ссылка.

Кроме того, в ходе рассуждений мы воспользуемся двумя пределами:

Доказательство

Из прото-задачи П-ссылка нам известно, что для любого выполняется неравенство:

Разложим это неравенство в цепное по прото-задаче П-ссылка:

Функции и стремятся к при , поэтому и «зажатая» между ними функция по теореме о двух милиционерах тоже стремится к :

При острых углах консинус является катетом прямоугольникого треугольника, а значит его значение при этих углах положительное.

Тогда, пользуясь основным тригонометрическим тождеством:

Найдем теперь значение предела функции косинуса при , пользуясь пределом степенной функции П-ссылка, а также теоремой о пределе сложной функции П-ссылка:

# Непрерывность синуса и косинуса

Возьмем произвольную точку из области определения синуса (и косинуса):

Докажем, что выполняется равенство:

Воспользуемся формулой синуса суммы углов, а также арифметическими свойствами пределов:

Теперь используем два доказанных в начале решения равенства:

Мы доказали, что

Это по определению означает, что функция синуса непрерывна на всей своей области определения.

Аналогичные действия проводим и для косинуса. В этот раз пользуемся формулой косинуса суммы:

Мы доказали, что

Это по определению означает, что функция косинуса непрерывна на всей своей области определения.

Непрерывность тангенса и котангенса

Возьмем произвольную точку из области определения тангнеса или котангенса:

Тогда, пользуясь определениями функций тангенса и котангенса, доказанной непрерывностью синуса и косинуса, а также арифметическими свойствами пределов, получаем, что:

Это по опрделению означает, что функции тангенса и котангенса непрерывны на всей своей области определения.