Прото-задачи

Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.

Показательная функция монотонно возрастает при $a>1$ и монотонно убывает при $a<1$.

Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с корнями четных степеней.

Возможность записать разность двух чисел с одинаковыми показателями степени в виде произведения двух удобных скобок.

Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.

Вывод основных периодов синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Сохранение ограниченности при сумме, разности и произведении последовательностей.

Полезное свойство перехода из б.м. последовательностей в б.б. и наоборот.

Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.

Возможность при взятии предела перейти к нахождению предела показателя.

Предел отношения степенной и показательной последовательностей равен 0.

Сохранение сходимости при замене индексов на произвольную бесконечно большую последовательность натуральных чисел.

Сходимость к нулю убывающих и к бесконечности возрастающих геометрических прогрессий.

Доказательство расходимости гармонического ряда с помощью второго замечательного предела.

Сохранение предела последовательности при добавлении или отбрасывании конечного числа ее членов.

Связь точной верхней (нижней) грани с предельными точками последовательности.

Даются два определения предельной точки последовательности. Доказывается эквивалентность этих определений.

Сохранение знака неравенства при переходе к пределам.

Предел отношения логарифмической и степенной последовательностей равен 0.

Важная теорема о количестве предельных точек последовательности.

Вывод второго замечательного предела для последовательностей через бином Ньютона.

Основные арифметические между ограниченной и бесконечно малой (большой) функциями.

Переход из бесконечно малых последовательностей в бесконечно большие и наоборот.

Удобная формула для вычисления пределов с помощью замены переменной.

Пределы функций, к которым сводятся множество задач.

Доказательство значений предела степенной функции при различных стремлениях аргумента.

Наиболее полезные свойства функций, которые имеют конечный предел при произвольном стремлении аргумента.

Вывод первого замечательного предела, который связывает синус, тангенс, арксинус и арктангенс с аргументом.

Связь $-\infty$ и $+\infty$ с обычной $\infty$ в значении предела, а также при стремлении к ним.

Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне. Доказательство эквивалентности этих определений.

Сохранение непрерывности при сложении, вычитании, умножении и делении функций.

Непрерывность степеней, в которых основание и показатель являются функциями.

Определение непрерывности функции в точке через прямой предел, а также через предел приращений переменной.

Доказательство непрерывности тригонометрических функций (включая обратные) на всей своей области определения.