Предел степенной функции с рациональным показателем

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x+1}}$$

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}}{\sqrt{2x+1}}$$

$$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}$$

$$\underset{x\to -8}{\lim }\frac{\sqrt{1-x}-3}{2+\sqrt[3]{x}}$$

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}+\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}}(a>0)$$

$$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1}}{x^2-9}$$

$$\underset{x\to -2}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x-6}+2}{x^3+8}$$

$$\underset{x\to 16}{\lim }\frac{\sqrt[4]{x}-2}{\sqrt{x}-4}$$

$$\underset{x\to 8}{\lim }\frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}(n\text{ — натуральное число})$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x)}{x}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{8+3x-x^2}-2}{x+x^2}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{27+x}-\sqrt[3]{27-x}}{x+2\sqrt[3]{x^4}}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}$$

$$\underset{x\to 7}{\lim }\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{1+\frac{x}{3}}-\sqrt[4]{1+\frac{x}{4}}}{1-\sqrt{1-\frac{x}{2}}}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{\sqrt[5]{1+5x}-(1+x)}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[m]{1+\alpha x}-\sqrt[n]{1+\beta x}}{x}(m\text{ и }n\text{ — целые числа})$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[m]{1+\alpha x}\sqrt[n]{1+\beta x}-1}{x}(m\text{ и }n\text{ — целые числа})$$

Пусть

$$P(x)=a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n$$

и $m$ — целое число.

Доказать, что

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[m]{1+P(x)}-1}{x}=\frac{a_1}{m}$$

$$\begin{gathered} \text{a) }\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}(m\text{ и }n\text{ — целые числа}) \\ \text{б) }\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{3}{1-\sqrt{x}}-\frac{3}{1-\sqrt[3]{x}}\right) \end{gathered}$$

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x})\dots (1-\sqrt[n]{x})}{(1-x{)}^{n-1}}$$

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right]$$

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)$$

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }x(\sqrt{x^2+2x}-2\sqrt{x^2+x}+x)$$

$$\underset{x\to +0}{\lim }\left(\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}-\sqrt{\frac{1}{x}-\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}\right)$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{x^3+x^2+1}-\sqrt[3]{x^3-x^2+1}\right)$$

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-\sqrt{x^2-2x}\right)$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{\frac{1}{3}}\left[(x+1{)}^{\frac{2}{3}}-(x-1{)}^{\frac{2}{3}}\right]$$

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{\frac{3}{2}}\left(\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)$$

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\sqrt[n]{(x+a_1)\dots (x+a_n)}-x\right]$$

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)}^n+{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}^n}{x^n}(n\text{ — натуральное число})$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)}^n-{\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)}^n}{x}(n\text{ — натуральное число})$$

Изучить поведение корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения

$$a{x}^2+bx+c=0,$$

у которого коэффициент $a$ стремится к нулю, а коэффициенты $b$ и $c$ постоянны, причем $b\ne 0$.

Найти постоянные $a$ и $b$ из условия

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{x^2+1}{x+1}-ax-b\right)=0$$

Найти постоянные $a_i$ и $b_i(i=1,2)$ из условий:

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }(\sqrt{x^2-x+1}-a_{1}x-b_1)=0$$

и

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sqrt{x^2-x+1}-a_{2}x-b_2)=0$$