Элементарные пределы

Пусть нам дали какое-то $ε > 0$ . Для этого $ε$ мы берем совершенно любую окрестность точки $a$ . Тогда для каждого $x$ из этой окрестности расстояние между $C$ и $C$ должно быть меньше $ε$ . Но расстояние между $C$ и $C$ равно $0$ , вне зависимости от $x$ , поэтому оно точно меньше любого положительного $ε$ . По определению это означает, что

$x \to a \in \overline{R} lim C = C$

$■$

Предел линейной функции

$x \to a \in \overline{R} lim x = a$

Следствие:

$x \to a \in R lim k x + b = ka + b x \to \infty lim k x + b = \infty$

Доказательство

Если $a$ — конечное число, то для любого наперед заданного $ε > 0$ мы можем взять $δ = ε$ . Тогда будет выполняться импликация:

$0 < ∣ x - a ∣ < δ = ε \Rightarrow ∣ x - a ∣ < ε = δ$

А это по определению означает, что

$x \to a \in R lim x = a$

Доказательство для случая бесконечного $a$ аналогичное, только нужно брать $D = E$ .

$■$

Докажем теперь следствие, пользуясь уже доказанными элементарными пределами и арифметическими свойствами предела функции:

$x \to a \in R lim k x + b = x \to a lim k x \to a lim x + x \to a lim b = ka + b$

Второе равенство следствия докажем с помощью операций с б.м. и б.б. (см. прото-задачу П-ссылка), представляя константу $k$ в виде ненулевой функции, а константу $b$ в виде ограниченной функции:

$x \to \infty lim k x + b = ∣ ∣ k \cdot \infty + b \infty + b \infty ∣ ∣ = \infty$

$■$

Предел многочлена

Если $m$ — целое число, то выполняются равенства:

$x \to a \in R lim x^{m} = a^{m} x \to \infty lim x^{m} = ⎩ ⎨ ⎧ \infty . 1 . 0 если m > 0 если m = 0 если m < 0$

Следствие:

$x \to a \in R lim P (x) = P (a) x \to \infty lim P (x) = \infty$

Доказательство

Начем с конечного $a$ :

$x \to a \in R lim x^{m} = a^{m}$

Если $m = 0$ , то $x^{0} = a^{0} = 1$ , поэтому

$x \to a lim x^{0} = x \to a lim 1 = a^{0} = 1$

Пусть теперь $m$ — натуральное число, тогда по арифметическим свойствам предела и уже доказанному выше пределу линейной функции имеем

$x \to a lim x^{m} = x \to a lim x \cdot x \cdot \dots = x \to a lim x \cdot x \to a lim x \cdot \dots = (x \to a lim x)^{m} = a^{m}$

Пусть теперь $m$ — отрицательное целое число. Но тогда $- m$ — натуральное. Держа это в уме, получаем, что

$x \to a lim x^{m} = x \to a lim \frac{1}{x ^{- m}} = \frac{1}{x \to a lim x ^{- m}} = \frac{1}{a ^{- m}} = a^{m}$

$■$

Доказательство для бесконечного $a$ приведем с использованием операций с б.м. и б.б. (П-ссылка).

Если $m > 0$ , то

$x \to \infty lim x^{m} = ∣ ∣ \infty \cdot \infty \cdot \dots \infty ∣ ∣ = \infty$

Если $m = 0$ , то $x^{0} = 1$ , поэтому предел будет равен $1$ .

Если $m < 0$ , то $- m > 0$ , поэтому, используя связь б.м. и б.б. (П-ссылка):

$x \to \infty lim x^{m} = x \to \infty lim \frac{1}{x ^{- m}} = 0$

$■$

Докажем теперь следствие для конечного $a$ . Пусть имеем многочлен

$P (x) = c_{0} x^{n} + c_{1} x^{n - 1} + \dots + c_{n}$

Найдем его предел при $x \to a$ , воспользовавшись доказанными выше равенствами и арифметическими свойствами пределов:

$x \to a lim P (x) = c_{0} x \to a lim x^{n} + c_{1} x \to a lim x^{n - 1} + \dots + c_{n} = = c_{0} a^{n} + c_{1} a^{n - 1} + \dots + c_{n} = P (a)$

$■$

Если $a$ бесконечное, то вынесем за скобки $x^{n}$ :

$P (x) = x^{n} (c_{0} + \frac{c _{1}}{x} + \dots + \frac{c _{n}}{x ^{n}})$

Функция в скобках справа имеет предел, равный $c_{0} \neq = 0$ . Обозначим ее за $f (x)$ . Значит, существует проколотая окрестность $\infty$ , в которой $f (x)$ не равна $0$ (П-ссылка). Это позволяет нам использовать операции с б.м. и б.б. (П-ссылка):

$x \to \infty lim P (x) = x \to \infty lim x^{n} f (x) = ∣ ∣$

class="vlist-t vlist-t2">∞⋅f(x)∞ ∣∣=∞

$■$

Зависимые задачи

409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 445 449 450 451 452 453 454 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 472

Связи в справке

Зависит от

Операции с бесконечно малыми и большими

Основные арифметические между ограниченной и бесконечно малой (большой) функциями.

Связь бесконечно малых и бесконечно больших

Переход из бесконечно малых последовательностей в бесконечно большие и наоборот.

Свойства функций с конечным пределом

Наиболее полезные свойства функций, которые имеют конечный предел при произвольном стремлении аргумента.

Используется в

Предел степенной функции

Доказательство значений предела степенной функции при различных стремлениях аргумента.