Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Д

Элементарные пределы

Пределы функций, к которым сводятся множество задач.
Предел константы

Доказательство

Пусть нам дали какое-то . Для этого мы берем совершенно любую окрестность точки . Тогда для каждого из этой окрестности расстояние между и должно быть меньше . Но расстояние между и равно , вне зависимости от , поэтому оно точно меньше любого положительного . По определению это означает, что

Предел линейной функции

Следствие:

Доказательство

Если — конечное число, то для любого наперед заданного мы можем взять . Тогда будет выполняться импликация:

А это по определению означает, что

Доказательство для случая бесконечного аналогичное, только нужно брать .

Докажем теперь следствие, пользуясь уже доказанными элементарными пределами и арифметическими свойствами предела функции:

Второе равенство следствия докажем с помощью операций с б.м. и б.б. (см. прото-задачу П-ссылка), представляя константу в виде ненулевой функции, а константу в виде ограниченной функции:

Предел многочлена

Если — целое число, то выполняются равенства:

Следствие:

Доказательство

Начем с конечного :

Если , то , поэтому

Пусть теперь — натуральное число, тогда по арифметическим свойствам предела и уже доказанному выше пределу линейной функции имеем

Пусть теперь — отрицательное целое число. Но тогда — натуральное. Держа это в уме, получаем, что

Доказательство для бесконечного приведем с использованием операций с б.м. и б.б. (П-ссылка).

Если , то

Если , то , поэтому предел будет равен .

Если , то , поэтому, используя связь б.м. и б.б. (П-ссылка):

Докажем теперь следствие для конечного . Пусть имеем многочлен

Найдем его предел при , воспользовавшись доказанными выше равенствами и арифметическими свойствами пределов:

Если бесконечное, то вынесем за скобки :

Функция в скобках справа имеет предел, равный . Обозначим ее за . Значит, существует проколотая окрестность , в которой не равна (П-ссылка). Это позволяет нам использовать операции с б.м. и б.б. (П-ссылка):