Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Нормальная

Пусть

Доказать, что

определив для каждого число такое, что

Заполнить следующую таблицу:

Нормальная

Доказать, что есть бесконечно малая (т.е. имеет предел, равный ), указав для всякого число , такое, что при , если:

Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу:

Нормальная

Доказать, что последовательности:

имеют бесконечный предел при (т.е. являются бесконечно большими), определив для всякого число такое, что при .

Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу:

Нормальная

Показать, что

не ограничена, однако не является бесконечно большой при .

Нормальная

Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения:

Предполагая, что пробегает натуральный ряд чисел, определить значения следующих выражений:
Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Доказать следующие равенства:
Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Какое выражение больше при достаточно больших :

Нормальная

Доказать, что

Нормальная

Доказать, что последовательность

монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность

монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести, что эти последовательности имеют общий предел

Нормальная

Доказать, что

При каких значениях показателя выражение будет отличаться от числа меньше чем на ?

Нормальная

Пусть — произвольная последовательность чисел, стремящаяся к и — произвольная последовательность чисел, стремящаяся к . Доказать, что

Нормальная

Зная, что

доказать, что

Вывести отсюда формулу

где , и вычислить число с точностью до .

Нормальная

Доказать, что число иррационально.

Нормальная

Доказать неравенства

Нормальная

Доказать неравенства:

а) , где — любое натуральное число;

б) , где — вещественное число, отличное от нуля.

Нормальная

Доказать, что

где есть логарифм числа при основании .

Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующих последовательностей:
Нормальная

, где — целые неотрицательные числа, не превышающие , начиная с .

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующих последовательностей:
Нормальная

, где

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Говорят, что последовательность имеет ограниченное изменение, если существует число такое, что

Доказать, что последовательность с ограниченным изменением сходится.

Построить пример сходящейся последовательности, не имеющей ограниченного изменения.

Нормальная

Сформулировать, что значит, что для данной последовательности не выполнен критерий Коши.

Нормальная

Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности

Нормальная

Доказать, что если последовательность сходится, то любая ее подпоследовательность также сходится и имеет тот же самый предел:

Нормальная

Доказать, что монотонная последовательность будет сходящейся, если сходится некоторая ее подпоследовательность.

Нормальная

Доказать, что если

то

Нормальная

Если , то что можно сказать о пределе ?

Нормальная

Доказать, что сходящаяся числовая последовательность ограничена.

Нормальная

Доказать, что сходящаяся числовая последовательность достигает любо своей верхней грани, либо своей нижней грани, либо той и другой.

Построить примеры последовательностей всех трех типов.

Нормальная

Доказать, что числовая последовательность , стремящаяся к , обязательно достигает своей нижней грани.

Найти наибольший член последовательности , если:
Нормальная

Нормальная

Нормальная

Найти наименьший член последовательности , если:
Нормальная

Нормальная

Для последовательности найти , , и , если:
Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Найти и , если:
Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Найти частичные пределы следующих последовательностей:
Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Нормальная

Построить пример числовой последовательности, имеющей в качестве своих частичных пределов числа

Нормальная

Построить пример числовой последовательности, для которой все члены данной числовой последовательности

являются ее частичными пределами. Какие еще частичные пределы обязательно имеет построенная последовательность?

Нормальная

Построить пример последовательности:

а) не имеющей конечных частичных пределов;
б) имеющей единственный конечный частичный предел, но не являющейся сходящейся;
в) имеющей бесконечное множество частичных пределов;
г) имеющей в качестве своего частичного предела каждое вещественное число.

Нормальная

Доказать, что последовательности и имеют одни и те же частичные пределы.

Нормальная

Доказать, что из ограниченной последовательности всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность .

Нормальная

Доказать, что если последовательность не ограничена, то существует подпоследовательность такая, что

Нормальная

Пусть последовательность сходится, а последовательность расходится. Что можно утверждать о сходимости последовательностей:

Привести соответствующие примеры.

Нормальная

Пусть последовательности и расходятся. Можно ли утверждать, что последовательности:

также расходятся?

Нормальная

Пусть , и — произвольная последовательность. Можно ли утверждать, что ? Привести соответствующие примеры.

Нормальная

Пусть

Следует ли отсюда, что либо , либо ?

Рассмотреть пример: , .

Нормальная

Доказать, что:

Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.

Нормальная

Пусть и . Доказать, что:

Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.

Нормальная

Доказать, что если существует, то какова бы ни была последовательность , имеем:

Нормальная

Доказать, что если для некоторой последовательности , какова бы ни была последовательность , имеет место по меньшей мере одно из равенств:

или

то последовательность — сходящаяся.

Нормальная

Доказать, что если и

то последовательность — сходящаяся.

Нормальная

Доказать, что если последовательность ограничена и

то частичные пределы этой последовательности расположены всюду плотно между ее нижним и верхним пределами:

т.е. любое число из отрезка является частичным пределом данной последовательности.

Нормальная

Пусть числовая последовательность удовлетворяет условию

Доказать, что существует.

Нормальная

Доказать, что если последовательность сходится, то последовательность средних арифметических

также сходится и

Обратное утверждение неверно: построить пример.

Нормальная

Доказать, что если

то

Нормальная

Доказать, что если последовательность сходится и , то

Нормальная

Доказать, что если , то

предполагая, что предел, стоящий в правой части последнего равенства, существует.

Нормальная

Доказать, что .

Нормальная

Доказать теорему Штольца, если

то

Нормальная

Найти:

Нормальная

Доказать, что если — натуральное число, то:

Нормальная

Доказать, что последовательность

сходится.

Таким образом, имеет место формула

где — так называемая постоянная Эйлера и при .

Нормальная

Найти

Нормальная

Последовательность чисел определяется следующими формулами:

Найти .

Нормальная

Пусть — последовательность чисел, определяемая следующей формулой:

Доказать, что .

Нормальная

Доказать, что последовательности и , определяемые следующими формулами:

имеют общий предел

(арифметико-геометрическое средее чисел и ).